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accrétion d'un goutte

Posté par
iSirrol 01-10-15 à 20:19

Salut !

Une goutte traverse un nuage de gouttes (immobiles), elles s'associent à la goutte en chute ce qui augmente sa masse.
on donne le taux d'accroissement de la masse de la goutte : \dfrac{1}{m(t)}\dfrac{\mathrm d m}{\mathrm d t}=\lambda v(t)

A partir de ces seules infos je dois établir l'équation différentielle vérifiée par v(t)
Je ne vois pas comment partir ... (loi à utiliser ?)

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 20:48

bonsoir

je pense qu'il faut appliquer le pfd à un système de masse variable

\vec{F} = \frac{d \vec{P} }{dt} \\ avec ici \vec{P} = m(t) (t)


mais comme on ne sait pas les forces à considérer (à part le poids) ...

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 21:37

je pense qu'il n'y a que le poids car il est dit dans l'énoncé "on ignore la force de traînée" mais est ce que ca veut dire pour autant qu'on peut la négliger. Toute la question est là ...

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 21:39

si on l'ignore c'est encore plus fort que de la négliger

ok, si c'est une chute libre, tu devrais y arriver

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 21:52

La loi de la quantité de mouvement donne : \dfrac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t}=\sum \vec{F}_{ext}
avec \sum \vec{F}_{ext}=\vec{P}=m(t)\vec{g} ; \vec{p}=m(t)\vec{v}(t)

m(t)\vec{g}=m(t)\dfrac{\mathrm d \vec{v}(t)}{\mathrm d t}

ce n'est pas cette méthode qui permet de donner l'équa diff vérifiée par v(t)

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 21:59

bien sûr que si,
mais pour faire ce genre d'exos, il faut savoir dériver

m(t) (t) par rapport à t

[...]

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:00

j'ai compris tu veux dire que je ne peux pas sortir la masse de la dérivée car ce n'est pas une constante

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:06

t'es en "spé" tu vas pas me faire croire que c'est la 1ère fois que tu traites un système à masse variable

(uv)' = ...

ici c'est pareil sauf qu'il y a un vecteur dans le tas

d/dt (m) =

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:17

non biensur que j'ai déja fait simplement un grosse faute d'inattention :

voilà ce que j'obtiens ...

\dfrac{\mathrm d [m(t)\vec{v}(t)]}{\mathrm d t} =\dfrac{\mathrm d m(t)}{\mathrm d t}\vec{v}(t)+m(t)\dfrac{\mathrm d \vec{v}(t)}{\mathrm d t}

comme \dfrac{\mathrm d m}{\mathrm d t}=\lambda v(t) m(t)

\dfrac{\mathrm d [m(t)\vec{v}(t)]}{\mathrm d t} = \lambda v(t) m(t)\vec{v}(t)+m(t)\dfrac{\mathrm d \vec{v}(t)}{\mathrm d t}

l'équa diff est : \dfrac{\mathrm d \vec{v}(t)}{\mathrm d t}+\lambda v(t) \vec{v}(t)=\vec{g}

selon Oz : \dfrac{\mathrm d {v}(t)}{\mathrm d t}+\lambda v^2(t) =g

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:24

oui
je te laisse intégrer

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:33

je ne vois pas comment m'y prendre et je doit introduite un temps caractéristique \tau

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:40

là, ce n'est plus de l'inattention...

dv/dt = g - v2
dv/(g - v2 ) = dt

...
...
...

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:49

Je ne vois pas trop où tu veux en venir, je sais faire un changement de variables de ce type :
\dfrac{\mathrm d {v}(t)}{\mathrm d t}+\lambda v^2(t) =g \Longleftrightarrow \dfrac{\mathrm d {v}(t)}{v(t)}=(g-\lambda v(t))\mathrm d t
ce que je ne peux pas intégrer car v(0)=0

et qu'en est-il du temps caractéristique que je dois introduire ? J'ai fais une analyse dimensionelle mais je ne trouver pas ... rappel: [\lambda]=T^{-1}

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 22:58

"séparation des variables"
ça ne te dit rien ?

pour info: [] = L-1

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 23:19

je connais \int \frac{1}{1-v^2}} \, \mathrm dv = \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{v+1}{v-1} \right| } + C

mais là \int \frac{1}{1-\frac{\lambda}{g}{v^2}} \, \mathrm dv je t'avoue que je ne vois pas

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 01-10-15 à 23:26

à moins que ce ne soit :  \frac{1}{2} \ln { \left| \dfrac{v+\sqrt{\frac{g}{\lambda}}}{v-\sqrt{\frac{g}{\lambda}} \right| } + C  

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 12:35

dv/(g - v2 ) = dt

en posant a2 = /g a>0

dv(1-a2v2) = g dt

1/a argth(av) = gt + K en supposant av<1

donc v=...

->

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 12:40

corr.

\frac{dv }{(1-a^2v^2) } \\ = g dt

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 16:38

Ça ne peut pas être aussi difficile à intégrer. Ce que tu proposes sont des choses que l'on a pas vu en cours. On a du faire une erreur quelque part.
D'autant qu'il est conseillé de faire apparaître un temps caractéristique ce que l'on ne retrouve pas ici.
(Dans les prochaines questions il sera question de vitesse limite donc quelquechose en 1-exp(-t/tau) me paraîtrai cohérent

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 17:23

Citation :
Ça ne peut pas être aussi difficile à intégrer.


c'était le début d'une épreuve du concours d'entrée à l'X (le début, certes, mais bon...)

tu es en "spé" qd même
les primitives usuelles (cf lien plus haut) c'est niveau "sup" si je me souviens bien

cette équa. diff. est SIMPLE

si v(0)=0, on trouve: v = 1/a th(agt) avec a=(/g)

quant à la vitesse limite, on la trouve directement en résolvant dv/dt =0

Citation :
il sera question de vitesse limite donc quelquechose en 1-exp(-t/tau)

non, la nature est malheureusement un peu plus compliquée que cela
toutes les équa. diff. ne mène pas à 1-exp(-t/tau), la preuve ici


sauf erreur

Posté par
vanoisere : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 18:46

Bonsoir krinn,
Je me permets d'intervenir car, si l'intégration en arc tangente hyperbolique est effectivement un "classique" du cours de maths courant bac + 2, la méthode proposée par isirrol est vue fin math sup, notamment en cinétique chimique. Il suffit de remarquer :
\frac{1}{1-\frac{\lambda}{g}v^{2}}=\frac{1}{\left(1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}\cdot v\right)\left(1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}\cdot v\right)}=\frac{1}{2\left(1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}\cdot v\right)}+\frac{1}{2\left(1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}\cdot v\right)}
La suite est évidente.
Cordialement

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 19:27

bonsoir vanoise,

effectivement.
merci d'avoir "corrigé le tir"

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 20:58

krinn @ 02-10-2015 à 17:23


tu es en "spé" qd même
les primitives usuelles (cf lien plus haut) c'est niveau "sup" si je me souviens bien


On ne considère plus les fonctions hyperboliques réciproques comme usuelles, elles ne sont plus au programme depuis plusieurs années dans les prépa normales (non prestigieuse), si je n'avais pas un brin de culture mathématiques je ne saurais même pas de quoi tu parles.

krinn @ 02-10-2015 à 17:23

cette équa. diff. est SIMPLE


Pas tellement, elle n'est pas linéaire, on n'a pas vu de méthode générale de résolution pour cela ni en maths, ni en physique (sachant qu'on voit plus d'objet mathématiques en physique qu'en maths)

krinn @ 02-10-2015 à 17:23

quant à la vitesse limite, on la trouve directement en résolvant dv/dt =0


Précise un peu ton propos, je ne vois pas bien comment faire

_____

La méthode de vanoise me parait plus simple à intégrer je regarde ca tout de suite

merci de l'aide

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 21:33

Nice!
j'ai résolu et je suis en partie content


\dfrac{1}{2g}\int_{v_0}^{v}(\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v'}+\dfrac{1}{1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v'})\mathrm dv'=\int_{0}^{t}\mathrm dt \\

\dfrac{1}{2\sqrt{g\lambda}}\ln (\dfrac{1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v}{1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v})=t \\

et devinez quoi ? j'ai fait apparaître mon temps caractéristique enfin ! \tau_v= \dfrac{1}{2\sqrt{g\lambda}}

mais seulement en partie car ... je suis bloqué

Posté par
vanoisere : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 22:35

Tu as fait le plus dur :
\ln(\dfrac{1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v}{1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v})=\frac{t}{\tau}\qquad donc\qquad\frac{1+\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v}{1-\sqrt{\frac{\lambda}{g}}v}=\exp\left(\frac{t}{\tau}\right) \\
PS : tu as fais le plus dur certes mais krinn t'a tout de même beaucoup aidé...

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 23:24

Grave !
c'est pourquoi je l'en remercie et j'espère ne pas l'avoir vexé en disant que je préférais ta réponse

mais le problème n'est pas encore fini j'ai encore des questions j'espère que vous continuerez à m'aider tous les 2

j'ai v=\sqrt{\dfrac{g}{\lambda}}}\cdot\dfrac{e^{t/\tau}-1}{e^{t/\tau}+1}

l'application numérique me donne v_{lim}=140 m.s^{-1}

Je dois trouver le rayon R tel que : v_{lim}=\dfrac{\frac{4}{3}\pi R^3g(1+\frac{\ell}{R})}{6\pi \eta R} ca me donne une équation de troisième degré ...

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 02-10-15 à 23:55

J'ai rien dit la simplification donne une équation du second degré

Posté par
krinn Correcteurre : accrétion d'un goutte 03-10-15 à 10:45

Citation :
La méthode de vanoise me parait plus simple à intégrer


ça m'a pris 4 lignes avant-hier soir, et toi, combien de temps pour trouver la bonne décomposition de 1/(1-k2v2) et pour inverser log[(1+kv)/(1-kv)] = t/ ?

mais bon, si tu ne connais pas (encore) argsh, argch, argth, tu ne peux pas le deviner, on est d'accord...

sache que les hyperboliques inverses sont très utiles pour certaines équa. diff. à variables séparables en physique car on souhaite souvent inverser la relation obtenue par intégration (ici on veut v=f(t) et non pas t=f(v)
or, inverser argsh, argch ou argth, c'est immédiat...

Citation :
c'est pourquoi je l'en remercie et j'espère ne pas l'avoir vexé en disant que je préférais ta réponse

du tout, il y a heureusement plusieurs façons de faire sinon ce serait très ennuyeux

j'aurais été vexé si vanoise l'avait résolu en 2 lignes

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 03-10-15 à 21:54

Toujours la goutte de rayon a, mais dans un contexte tout autre,

on me demande de déterminer la \Delta p_h la différence de pression hydrostatique entre le point haut et bas (dans le vide avec un champ de pesanteur g).

j'ai des infos (je ne sais pas si elles sont utiles ici) sur:
- le travail élémentaire lors de l'évolution infinitésimale réversible de l'aire de la goutte \delta W=\gamma \mathrm d a
- la longueur capillaire de la goutte L_c=\sqrt{\dfrac{\gamma}{g\rho}}

\gamma,\rho>0
je n'arrive pas à l'établir mais je pense que ca peut etre \Delta p_h=2ag\rho

Posté par
vanoisere : accrétion d'un goutte 03-10-15 à 22:59

la statique des fluides, conduit, dans le cas d'une masse volumique indépendante de l'altitude, à une différence de pression :
\Delta P=\rho gh. A priori tu as raison.
Cela fait partie du cours de première année me semble-t-il, quoique, avec les tous nouveaux allègements de programme...
Pour le démontrer, tu écris qu'une couche de fluide horizontale  d'épaisseur dz, d'aire S quelconque, de masse volumique est en équilibre sous l'action de trois forces : son poids, la force pressante exercée par le reste du fluide situé au dessus de la couche étudiée, la force pressante exercée par le reste du fluide situé au dessous de la couche étudiée... Où, plus général, tu travailles sur un volume élémentaire parallélépipédique d et tu démontres que la résultante des 6 forces de pression exercées sur les 6 faces vaut :
-\overrightarrow{grad}\left(P\right)\cdot d\tau

Posté par
iSirrolre : accrétion d'un goutte 04-10-15 à 14:00

Je me demande si la manière de procéder ne ressemble pas à variation spatiale de la pression
ce n'est pas tout à fait le même exercice mais je pense qu'il faut revenir aux bases de la définition


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