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Abaque de Smith et schéma équivalent

Posté par
jybb 15-10-22 à 14:30

Bonjour,

J'ai des difficultés sur cet exercice de niveau M1 physique, l'énoncé est le suivant :
---
Une ligne sans pertes utilisant l'air comme diélectrique à une impédance caractéristique Zc=50 et une longueur l=34cm. Elle est terminée par une résistance R_R=12,5.
a) Calculer les éléments constituant le schéma équivalent série à l'entrée de cette ligne pour une fréquence N=150MHz.
b) De même, calculer les éléments du schéma équivalent parallèle
---
Etant donné qu'on a une ligne sans pertes, je pense que le schéma équivalent série de la ligne de transmission est simplement une inductance L suivi, en série, d'une capacitance C (pas de résistance R ni conductance G).
Je pense que Z_R = R_R = 12,5 + j0 \Omega, et étant donné qu'on a Zc on peut calculer le coefficient complexe de réflexion : \Gamma_R = \dfrac{Z_R - Z_c}{Z_R + Z_c} ainsi que le ROS... mais je ne vois pas en quoi calculer cela va nous aider à déduire les valeurs de L et C. Et comment utiliser l'abaque de Smith pour résoudre ce problème ?

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 15-10-22 à 15:55

Bonjour

A si haute fréquence, ton approximation est osée. Je te suggère de calculer la longueur d'onde à cette fréquence et de la comparer à la longueur de la ligne pour juger. En reprenant les notation de ton étude précédente, l'impédance en bout de ligne (en z=l) est Z(l)=RR=Rc/4, donc :

\dfrac{1-\frac{I_{2}}{I_{1}}e^{2ikl}}{1+\frac{I_{2}}{I_{1}}e^{2ikl}}=\dfrac{R_{R}}{R_{c}}=\dfrac{1}{4}

Ce qui conduit, sauf erreur de calcul de ma part à :

\dfrac{I_{2}}{I_{1}}=\dfrac{3}{5}\cdot e^{-2ikl}

L'impédance de l'ensemble {ligne-charge} est la valeur de Z en z=0 :

Z_{(0)}=R_{c}\cdot\dfrac{I_{1}-I_{2}}{I_{1}+I_{2}}

Je te laisse continuer...

Posté par
jybbre : Abaque de Smith et schéma équivalent 15-10-22 à 18:00

Bonjour,

vanoise @ 15-10-2022 à 15:55


\dfrac{I_{2}}{I_{1}}=\dfrac{3}{5}\cdot e^{-2ikl}

J'ai vérifié ça me semble bon.

vanoise @ 15-10-2022 à 15:55


\dfrac{1-\frac{I_{2}}{I_{1}}e^{2ikl}}{1+\frac{I_{2}}{I_{1}}e^{2ikl}}=\dfrac{R_{R}}{R_{c}}=\dfrac{1}{4}


Pourquoi =\dfrac{R_R}{R_c} ?

Pour la longueur d'onde j'ai \lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3.10^8}{150.10^6} = 2m.

Donc la longueur d'onde est de deux mètres (Deux mètres c'est un ordre de grandeur de plus que 34cm donc on peut appliquer les ARQS en théorie, non ?)

En continuant le calcul de Z(0) je tombe sur :

Z(0) = R_c\dfrac{5-3e^{-2ikl}}{5+3e^{-2ikl}} , donc je n'arrive pas à une valeur claire. Il faut que j'exprimer e^{-2ikl} avec des cosinus et des sinus pour avoir un complexe pour Z(0) ?

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 15-10-22 à 18:51

Dans le sujet précédent, il a été montré que l'impédance en bout de ligne est :

Z_{(l)}=R_{c}\cdot\dfrac{1-\frac{I_{2}}{I_{1}}\cdot e^{2ikl}}{1+\frac{I_{2}}{I_{1}}\cdot e^{2ikl}}

Or, selon l'énoncé, l'impédance en bout de ligne est : Z_{(l)}=R_{R}=\frac{R_{c}}{4}

Le module du complexe s'obtient facilement par :

|Z_{(0)}|=\sqrt{Z_{(0)}\cdot Z_{(0)}^{*}}

Lorsque un complexe apparaît sous la forme d'un quotient de deux complexes :

\arg\left(Z_{(0)}\right)=\arg\left(num\acute{e}rateur\right)-\arg(d\acute{e}nominateur)=\arg\left(num\acute{e}rateur\right)+\arg\left(conjugu\acute{e}\;d\acute{e}nominateur\right)

Cela est bien expliqué sur la fiche concernant les complexes que je t'ai conseillée dans le sujet précédent.

Pour l'expression de la célérité de l'onde : les valeurs de l'inductance linéique et de la capacité linéique sont fournies ?

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 15-10-22 à 19:29

Citation :
Deux mètres c'est un ordre de grandeur de plus que 34cm donc on peut appliquer les ARQS en théorie, non ?

Tu es sûr de pouvoir poser :
2k.l<<1 ?

Posté par
jybbre : Abaque de Smith et schéma équivalent 15-10-22 à 23:03

Citation :
selon l'énoncé, l'impédance en bout de ligne est : Z_{(l)}=R_{R}=\frac{R_{c}}{4}

Ah oui c'est vrai j'avais oublié que Z(l) = R_R

Alors j'ai |Z(0)| = R_c\sqrt{\dfrac{34-15\cos(-2kl)}{34+15\cos(-2kl)}}

Et arg(Z(0)) = arg(Z_1) - arg(Z_2) = arctan\left(\dfrac{-3R_c\sin(-2kl)}{5-3R_c\cos(-2kl)}\right) - arctan\left(\dfrac{3\sin(-2kl)}{5+3\sin(-2kl)}\right)

Mais en fait je pense qu'ils veulent qu'on utilise l'Abaque de Smith dans l'exercice (l'exercice est dans la section Abaque de Smith), peut-être afin d'éviter de faire ces gros calculs.

Citation :
Pour l'expression de la célérité de l'onde : les valeurs de l'inductance linéique et de la capacité linéique sont fournies ?

Non, rien de cela n'est fourni

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 16-10-22 à 12:27

Puisque l'énoncé précise que la ligne « utilise l'air comme diélectrique », tu peux effectivement considérer la célérité des ondes égales à "c" même si, pour les câbles coaxiaux de 50, la célérité est plutôt de l'ordre de 2.108m/s. Ainsi, il n'est pas nécessaire de connaître l'inductance linéique et la capacité linéique.

L'impédance d'entrée est ainsi comme tu l'as écrit :

Z_{(0)}=R_{c}\cdot \dfrac{5-3e^{-2ikl}}{5+3e^{-2ikl}}

donc :

|Z_{(0)}|=R_{c}\cdot\sqrt{\dfrac{\left(5-3e^{-2ikl}\right).\left(5-3e^{2ikl}\right)}{\left(5+3e^{-2ikl}\right).\left(5+3e^{2ikl}\right)}}

Il me semble détecter une étourderie dans ton résultat puis ne pas oublier : cos(-x)=cos(x)....

Au premier coup d'œil, on voit que ton résultat concernant l'argument est faux car il n'est pas homogène. On ne peut soustraire ou additionner  que des grandeurs de même dimensions physiques. 5 est un nombre sans dimension, 3Rc.cos(2kl) a la dimension d'une résistance. Plus simplement, dans la mesure où Rc est un réel strictement positif :

\arg\left(Z_{(0)}\right)=\arg\left(5-3e^{-2ikl}\right)+\arg\left(5+3e^{2ikl}\right)

Je te laisse terminer.

Posté par
jybbre : Abaque de Smith et schéma équivalent 16-10-22 à 14:55

Bonjour,

D'accord pour la célérité, merci.

Je trouve |Z(0)| = R_c\sqrt{\dfrac{34-30\cos(2kl)}{34+30\cos(2kl)}}
en utilisant que \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

Et arg(Z(0)) = atan\left(\dfrac{3\sin(2kl)}{5-3\cos(2kl)}\right) + atan\left(\dfrac{3\sin(2kl)}{5+3\cos(2kl)}\right)

en utilisant \cos(x) = \cos(-x) et \sin(x) = -\sin(-x)

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 16-10-22 à 19:50

D'accord avec tes calculs. Tu peux d'ailleurs en tester le réalisme sur le cas particulier des basses fréquences . Si 2k.l<<1 :
cos(2kl)0 ; sin(2k.l)0
Tu peux vérifier :
|Z(o)|Rc/4=RR
arg(Z(o))0
soit :
Z(o)RR
Tout se passe comme si la charge était reliée au générateur par deux fils conducteurs de résistances nulles. C'est l'approximation habituellement faite en régime continu ou en régime alternatif basse fréquence lorsque un GBF est relié à une charge par un câble coaxial d'impédance caractéristique 50.

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 16-10-22 à 22:09

Étourderie dans mon précédent message : bien sûr, pour les angles très petits :
cos(2kl)1.

Posté par
jybbre : Abaque de Smith et schéma équivalent 16-10-22 à 23:53

Effectivement avec les petits angles et les approximations, je retrouve tes résultats.

Citation :
Tout se passe comme si la charge était reliée au générateur par deux fils conducteurs de résistances nulles.


Si je comprends bien, tu dis cela car Z(0)=R_R et Z_R = Z(l) = R_R ? Le fait que la résistance à z=0 soit la même que à z=l signifie que la ligne n'a "virtuellement" pas de résistance ? Sinon je ne comprends pas trop pourquoi

Est-ce qu'il est possible de retrouver ces résultats via l'utilisation de l'Abaque de Smith ? Je ne vois vraiment pas comment l'utiliser pour ce problème mais l'exercice dit qu'il faut. Je ne sais l'utiliser que quand on a une impédance donnée, pour trouver le coefficient. de réflexion et le ROS etc.

Posté par
vanoisere : Abaque de Smith et schéma équivalent 17-10-22 à 12:38

Citation :
la ligne n'a "virtuellement" pas de résistance ?

Bien sûr et cela est vrai quelle que soit la fréquence car l'énoncé précise bien qu'il s'agit d'une ligne sans perte, donc en particulier sans perte par effet Joule. Le cas limite évoqué (2k.l<<1) correspond aussi à l<< : le phénomène ondulatoire peut être négligé : c'est la situation couramment obtenue en électrocinétique tant que la fréquence ne dépasse pas la dizaine de kilohertz.
Pour l'étude demandée (N=150MHz), tu pourrais remarquer : 2k.l2/3, ce qui te donne très simplement Z(o). Sinon : utilise l'abaque de Smith si tu as appris à t'en servir sachant que Z(l)=Zc/4.


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