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Voyage "économique" de la Terre à Mars par orbite de Hohmann
On suppose, pour simplifier, que les orbites de la Terre et de Mars sont circulaires, respectivement de 150 millions de km et de 229 millions de km de rayon.
L'orbite de transfert de Hohmann est une ellipse dont le périhélie est un point de l'orbite de Mars, et l'aphélie, un point de l'orbite de la Terre (donc tangente aux orbites des deux planètes).
1) Durée du transfert (parcours d'une demi-ellipse de Hohmann) ?
2) Quelle vitesse faut-il donner au vaisseau au départ de l'orbite terrestre, et à l'arrivée en orbite martienne (Au départ, on suppose la vitesse du vaisseau négligeable par rapport à celle de la Terre, et à l'arrivée, négligeable par rapport à celle de Mars) ?
Bon voyage ! 
D'après la 3e loi de Kepler
(si je ne me trompe,
On a donc
soit
En effet, on a pris 300 millions de km = rayon de l'orbite terrestre, et 379 millions de km = demi-grand axe de l'orbite de Hohmann.
Ce qui donne
Le temps de transfert est la durée d'une demi-orbite de Hohmann, soit
C'est une durée intermédiaire entre une demi-année terrestre : 182,6 jours, et une demi-année martienne : 344 jours environ, puisque aires des surfaces intérieures aux orbites de la Terre, de l'orbite de Hohmann et de Mars sont rangées en ordre croissant (toujours la loi des aires).
Cette orbite de Hohmann est dite économique, parce qu'elle demande la plus petite dépense énergétique pour le transfert Terre-Mars dans l'hypothèse simple où les planètes seraient en orbite circulaire.
Pour une planète ou, ici, le vaisseau spatial, la constante des aires, , est reliée au paramètre
par
où est la constante de gravitation,
la masse du Soleil.
Il est facile de prouver que
autrement dit, que est la moyenne harmonique des rayons des orbites terrestre
et martienne
.
On en déduit
La période de révolution correspondant à l'orbite de Hohmann est donnée par
donc
(on retrouve au passage la 3e loi de Kepler, qui énonce que les carrés des périodes orbitales sont proportionnelles aux cubes des grands axes)
Au périhélie, on peut écrire
où est la vitesse du vaisseau sur orbite de Hohmann (au départ du voisinage de la Terre).
et à l'aphélie,
où est la vitesse du vaisseau sur orbite de Hohmann (au moment où il atteint l'orbite de Mars)
[A suivre, j'espère que quelqu'un va continuer, cette fois !]
Pas de navigateur de l'infini, ou du moins de l'Île du Système Solaire, en attendant l'immense Océan de la Voie Lactée et ses milliards d'étoiles et de mondes ?...
Je suis en vacances, nous verrons si un audacieux aura pris le large, dans le Haut Espace, d'ici la rentrée !
Bon vent, matelots !...
A propos, il serait peut-être bon de voir la démonstration des trois Lois de Kepler, c'est une bonne base pour la navigation interplanétaire...
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