Niveau licence

Volume d'une couche sphérique en Electrostatique

Posté par
pablitom94 15-02-10 à 20:03

Bonjour, je travail sur un exercice d'électrostatique dont voici l'énoncé: "Une couche sphérique de très faible épaisseur e, comparée au rayon R, est chargée uniformément avec la densité de charge $\sigma$ constante. Calculer la charge totale."
J'ai utilisé l'expression $\sigma=\frac{Q}{\Delta V}$ où $\Delta V$ est le volume de la couche sphérique.
Je dois donc calculer $\Delta V$ .
Je soustrais le volume de la boule de rayon R au volume de la boule de rayon R+e, et cela donne $\Delta V=\frac{4\pi}{3}((R+e)^3-R^3)$ .
En développant, on obtient successivement
$\Delta V=\frac{4\pi}{3}(R^3+3R^2e+3Re^2+e^2-R^3)$ ,
$\Delta V=4\pi.R^2e+4\pi.Re^2+\frac{4\pi}{3}e^3$ ,
$\Delta V=4\pi.R^2e$ .

Je ne comprends pas comment on passe de $\Delta V=4\pi.R^2e+4\pi.Re^2+\frac{4\pi}{3}e^3$ à $\Delta V=4\pi.R^2e$ .
Quelqu'un peut-il m'aider?

Posté par re : Volume d'une couche sphérique en Electrostatique 15-02-10 à 20:11

Bonsoir pablitom94,

Tout est dans :

Citation :
Une couche sphérique de très faible épaisseur e, comparée au rayon R

Traduction : on garde le plus gros terme dans lequel figurent R et e.

R²e >> Re² >> e³

donc on dit $3$\Delta V=4\pi R^2 e$

Posté par re : Volume d'une couche sphérique en Electrostatique 15-02-10 à 20:12

Je suppose que ce n'est donc pas de toi que tu parles lorsque tu dis "on obtient successivement"... ^^

Factorise l'avant-dernière ligne en sortant $4\pi R^2 e$ de la parenthèse et utilise le fait que $e\ll R$ pour simplifier.

Posté par re : Volume d'une couche sphérique en Electrostatique 15-02-10 à 20:13

Autre façon de le voir :

on écrit $3$V(r)=\fr43\pi r^3$

on différencie $3$dV(r)=4\pi r^2\rm{d}r$

et ici on remplace le rayon r par R et la petite variation de rayon dr par e, on retrouve bien

$3$\Delta V=4\pi R^2e$