vx = dx/dt = b.w.cos(wt)

vy = dy/dt = -a.w.sin(wt)

v(t) = w * RCarrée(b².cos²(wt) + a².sin²(wt))

ax = d²x/dt² = -bw².sin(wt)

ay = d²y/dt² = -aw².cos(wt)

La force centripète sur la voiture de masse m (repère cartésien) :

Fx = m.ax
Fy = m.ay

F(t) = m.w².RCarrée(b².sin²(wt) + a².cos²(wt))

Donc on connait à tout instant la position du véhicule par (repère cartésien) :
x(t)=bsin(wt)
y(t)=acos(wt)

On connait la force centripète sur la voiture de masse m (repère cartésien) :
Fx(t) = -m.bw².sin(wt)
Fy(t) = -m.aw².cos(wt)

On peut passer, si on veut, dans un repère de Frenet, mais cela n'apporte rien de rien.

Reste encore à voir si le modèle que tu as choisis convient au prof ... car dans ce modèle, le module de la vitesse varie avec le temps.

Commence donc par te renseigner pour voir si tu ne dois pas traiter des virages à rayon de courbure variable ... mais abordé à vitesse constante.

Si c'est le cas, tes équations, soit x(t)=bsin(wt) et y(t)=acos(wt) ne conviennent pas car elles mènent à une vitesse variable (en module).

Pour la suite, ne conclus pas trop vite, il faudra voir en fonction de divers paramètres, les cas où la voiture passe le tournant sans déraper, ou bien si elle glisse par manque d'adhérence, ou si elle bascule.

Je comprends le raisonnement ( sauf le RCarrée qui disparait ensuite dans f(t)? ) mais sinon ici je souhaite étudier pour une vitesse donnée, donc constante et vérifier ou non si la voiture bascule et aborde le virage sans dérapage. Pour cela il faudrait alors que la force de frottement soit égale à la force centrifuge en terme de modules non?

Comme je l'ai écrit, si tu veux une vitesse constante, tu ne peux pas partir des équations de positions :

x(t)=bsin(wt)
y(t)=acos(wt)
-----

On peut partir des équations de l'ellipse (on n'a pas besoin du temps) :

x²/a² + y²/b² = 1

Et le rayon de courbure est : R = [|(a².sin²(alpha)+b².cos²(alpha))|^3/2]/(a.b)

Si on préfère avoir R en fonction de X (abscisse du mobile dans le repère choisi pour écrire l'équation de l'ellipse), on a :

X = a.cos(alpha)
cos(alpha) = X/a
cos²(alpha) = X²/a²
sin²(alpha) = 1 - X²/a² = (a²-X²)/a²

--> R = [|(a².(a²-X²)/a² + b².X²/a²)|^(3/2)]/(a.b)

R = [((a²-X²) + (b²/a²).X²)^(3/2)]/(a.b)
avec -a <= X <= a

Et avec la vitesse constante en paramètre ... on peut tout calculer.

Enfin tout reste à voir jusqu'où on veut aller.


Rien vérifié.  

Merci mais je n'ai pas compris comment on arrive à calculer le rayon de courbure.

J'ai essayé de partir de l'équation de l'ellipse et de dire qu'à un instant t on a:

x(t)=Rcos(wt)
y(t)=Rsin(wt) en projetant et en considérant l'angle entre le mobile et le grand axe. R est le rayon entre l'origine de l'ellipse et le mobile à tout instant.

J'essaie ensuite de remplacer dans l'équation de l'ellipse:

(Rcos(wt))²/a² + (Rsin(wt))²/b² = 1 et c'est à partir de là que je ne comprends pas, le rayon de courbure qu'on cherche ici est bien R? Il varie juste en fonction du temps car l'angle va varier si le mobile est à vitesse constante, mais comment on retrouve des puissances 3/2 etc..? :/

x(alpha) = a.cos(alpha)  (abscisse d'un point M de l'ellipse)
y(alpha) = b.sin(alpha)  (ordonnée d'un point M de l'ellipse)

Avec alpha variant dans [-Pi ; Pi]

x et y sont donnés à l'aide d'un paramètre (alpha)

Le rayon de courbure est alors :

R = (x'²+ y'²)^(3/2)/|(x'.y'' - x''.y')|

avec x' = -a.sin(alpha) ; y' = b.cos(alpha)
x'' = -a.cos(alpha) ; y'' = -b.sin(alpha)

R = (a².sin²(alpha)+ b².sin²(alpha))^(3/2) /|(a.b.sin²(alpha) + a.b.sin²(alpha))|

R = (a².sin²(alpha)+ b².sin²(alpha))^(3/2)/(a.b)

alpha est l'angle fait entre l'axe Ox (direction du grand axe de l'ellipse) et le vecteur OM, O étant le centre de l'ellipse de grand axe 2a et de petit axe 2b.

Voir ici :

Sauf distraction.  

Merci beaucoup

Juste un petit truc, quand je fait moi même le calcul du rayon de courbure je trouve:
(a²sin²(alpha)+b²-b²sin²(alpha))^3/2 / (ab), j'ai donc un b² en trop et un problème de signe, est-ce erreur de ma part?

J'ai été distrait dans ma dernière réponse.
C'était correct dans celle du   19-04-18 à 19:27

Je reprends ma réponse an corrigeant la distraction.

R = (x'²+ y'²)^(3/2)/|(x'.y'' - x''.y')|

avec x' = -a.sin(alpha) ; y' = b.cos(alpha)
x'' = -a.cos(alpha) ; y'' = -b.sin(alpha)

R = (a².sin²(alpha)+ b².cos²(alpha))^(3/2) /|(a.b.sin²(alpha) + a.b.sin²(alpha))|

R = (a².sin²(alpha)+ b².cos²(alpha))^(3/2)/(a.b)
****

Et ta réponse :

Tu dois remarquer que b² - b².sin²(alpha) = b²(1-sin²(alpha)) = b².cos²(alpha

Et que donc :

(a²sin²(alpha)+b²-b²sin²(alpha))^3/2 / (ab)
= (a²sin²(alpha)+b²cos²(alpha))^3/2 / (ab)

On a donc bien : R = (a²sin²(alpha)+b²cos²(alpha))^3/2 / (ab)

Merci bien ca m'a bien aidé