Ou alors vous me conseillez de faire l'étude de v en fonction de t, ce qui peut paraitre plus simple et à la fin remplacer t par ?

Bonsoir
L'étude de v en fonction de est assez directe en utilisant la conservation de l'énergie mécanique ou le théorème de l'énergie cinétique.L'avantage est qu'il est possible d'obtenir un résultat exact même avec une amplitude importante, ce qui n'est pas, du moins de façon simple, possible en faisant intervenir le temps.
Toutes les méthodes font intervenir v², ce qui entraîne deux solutions possibles : l'une négative lorsque varie de _m à -_m et l'autre positive quand varie de -_m à _m.
Une étude par méthode énergétique est faite sur ce document paragraphe III.3. Son intérêt est de conduire à une expression exacte de la période d'oscillation ($III.3.2).

D'accord:
En l'absence de force non-conservative, l'énergie mécanique se conserve.
L'énergie mécanique d'une position quelconque est égale à l'énergie mécanique de l'amplitude maximale.
½  m v² - m g l cos = - m g l cos _m
Donc v = ± (2gl)½ (cos - cos _m)½
Une vitesse étant une grandeur positive (ou nulle), seule la solution positive a un sens physique:
v = (2gl)½ (cos - cos _m)½
La dérivée de v par rapport à : v'
v' = - (lg)½ sin / [ 2½ * (cos - cos_m)½]
Le dénominateur ne doit pas être égal à 0 et pourtant je peux voir que si = ±_m, le dénominateur est nul et pourtant cette valeur de l'angle fait partie du domaine de définition.
Il y a t'il une erreur ?
Toutes les grandeurs sont positives sauf -sin donc c'est lui qui va donné le signe de v.
v' est positif de -_m à 0 donc v est croissant sur cet intervalle et v' est négatif  de 0 à _m donc v edt décroissant sur cet intervalle.

En posant : v=l.d/dt
tu n'obtiens pas la norme du vecteur vitesse mais sa mesure algébrique : valeur positive si mouvement dans le sens +, valeur négative si mouvement dans le sens -.

Franchement...
Partons du cas simple des oscillations de faibles amplitudes :
=_m.cos(.t+)
Tu ne peux tout de même pas prétendre que :
v=l.d/dt représente la norme du vecteur vitesse !!!!

Effectivement:
La norme du vecteur vitesse vaut:
v = ||v|| = l * |d/dt|
Ceci dit, le dénominateur nul me perturbe toujours

Quant tu dérives la valeur algébrique de la vitesse pour obtenir l'accélération tangentielle, il faut dériver par rapport au temps . Cela fait intervenir au numérateur la vitesse angulaire qui tend vers zéro quand tend vers _m .

Je suis d'accord que la dérivée de la vitesse par rapport au temps est l'accélération.
Cependant, ici j'étudie la vitesse en fonction de , alors pour étudier cette fonction, je dérive par rapport à

Si j'accepte je résultat, je suis d'accord qu'au numérateur j'obtiens d/dt et pour étudier cette fonction je dois connaitre la fonction explicite de qui est seulement possible pour des petits angles.
d/dt = -w _m sin(wt+)
On considère sans vitesse initiale alors =0
Cette relation ne nous indique pas la variation par rapport à l'angle alors je fais un changement de variable pour passer de t à .
d/dt = - w _m (1-(/m)²)½
Donc si =_m je suis d'accord que le numérateur de l'accélération tangentielle est nul mais le dénominateur aussi.

C'est bien cela : cette méthode conduit à une indétermination sur l'expression de l'accélération tangentielle. On lève l'indétermination en appliquant la relation fondamentale de la dynamique au pendule dans le cas particulier =_m.

C'est-à-dire ?
En appliquant le PFD, j'obtiens d²/dt² + g/l sin = 0
Et pour se mettre dans le cas particulier de =_m, comment je fais?
Je fais l'approximation avec les petits angles et je résouds l'équation différentielles et je la dérive mais j'ai l'impression de tourner en rond ?

en =_m :
accélération angulaire : -(g/l)sin(_m) ;
accélération tangentielle (valeur algébrique) : -g.sin(_m)
Pas plus compliqué que cela !