Niveau maths sup

Vitesse et accélération et cardioïde

Posté par
monrow 23-12-07 à 15:07

Bonjour,

J'ai un petit problème avec cet exo de mécanique:

Un mobile supposé ponctuel décrit la courbe plane dont l'équation en coordonnées polaires est: $r=r_0(1+cos\theta )$ .

1) a- Quelle est l'allure de la trajectoire du mobile?

Bon la symétrique par rapport à l'axe Ox et admet un point de rebroussement en $O(\theta =0,r=r_0)$ . Bon en penant plusieurs valeurs on aura une cardioïde.

b- Exprimer en fonction de l'angle polaire $\theta$ , l'abscisse curviligne s du mobile, comptée à partir du point A qui correspond à theta=0. Pour quel angle polaire a-t-on $s=r_0$ ? On désignera par B la position correspondante du mobile.

Bon là on a: $ds=\sqrt{r^2+$rd\theta$^2}$

Après simplifications: $ds=r_0cos(\frac{\theta}{2}) d\theta$

On calcule s en intégrant pour trouver: $ds=2r_0sin(\frac{\theta}{2}$

$s=r_0 \Rightarrow \theta=\pi/3$

c) En déduire le périmètre de la trajectoire

Bon j'ai trouvé $p=2\Bigint_{\widehat{AO}} ds=4r_0$

2) On choisira comme origine des temps, l'instant où le mobile passe par A, et on admet que la trajectoire est décrite avec une vitesse angulaire constante $\omega$ .

Exprimer la vitesse linéaire du mobile:
a) en fonction du temps t
b) en fonction de r

- x=ds/dt on aura: $v=r_0\omega cos(\frac{\omega t}{2})$
- $v=\omega\sqrt{r_0r}$

3) a- Déterminer les composantes radiales $a_r$ orthoradiales $a_\theta$ et le module a de l'accélération à l'instant t.

$a_r=-\frac{1}{2}r_0\omega^2(1+2cos(\omega t))$
$a_\theta = -r_0 \omega^2sin(\omega t)$
$a= \frac{1}{2} r_0 \omega^2\sqrt{1+8cos^2(\omega t)}$

b- En utilisant ces expressions, déterminer la composante $a_N$ de l'acclération à l'instant t.

Là je bloque

Merci.