Bonjour,
Premièrement je définirais 2 référentiels, le 1er (R) étant fixe et le 2e (R') dont les axes tournent avec la sphère.
En utilisant la loi de composition des mouvements, tu as :
v_absolue=v_relative+v_entrainement
et
a_absolue=a_relative+a_entrainement+a_Coriolis
Je te conseille de calculer les termes un à un, à commencer par la vitesse relative, à partir de la position du mobile dans le réf R'.
D'après la symétrie du problème j'utiliserais les coordonnées sphériques :
Dans ce cas la position est r_{ref R'}=R.u_r
(Désolé je ne suis pas arrivé à mettre des flèches sur les vecteurs.)
J'espère que ça t'aidera à démarrer, sinon n'hésite pas à me solliciter à nouveau.

Ça colle encore je pensais pas aux coordonnées sphérique. Mais je vois que je peux prendre O comme origine des deux repères

Je te donne le calcul de la vitesse relative pour te guider (vitesse du mobile dans le référentiel tournant).
v_rel = dr/dt où r est la position du mobile dans (R').
Il faut donc dériver le vecteur que j'ai donné plus haut par rapport au temps.
v_rel = R.d/dt .u
Or d'après ton schéma l'abscisse curviligne du mobile s = R.
D'où v_rel = ds/dt .u
D'après l'expression de s de l'énoncé :
v_rel = R.a.t.sin .u

J'espère que c'est assez lisible sans les flèches de vecteurs.
Procède de même pour la vitesse d'entraînement, et les différents termes de l'expression de l'accélération absolue ; tu en trouveras les définitions dans ton cours.

Un autre conseil : avant toute chose il faut absolument que tu aies bien dégagé les 2 référentiels (R) et (R') ainsi que les coordonnées du mobile dans ces référentiels (dans la base sphérique ce sera plus simple).

Voilà, si tu as encore des soucis essaie de me dire exactement où tu bloques.
Bon courage.

Et en plus de ça je me suis trompé dans l'expression finale,
c'est plutôt v_rel = kt .u

Est ce que tu peux me matérialiser les deux repères ( Origine et axes)

Voici trèèèès sommairement représentés les 2 repères associés aux référentiels que j'ai utilisés :
(R) est fixe et a pour axes (Ox), (Oy) et (Oz).
(R') tourne autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire et a pour axes (Ox'), (Oy') et (Oz), de telle sorte que le mobile reste confiné dans le plan (y'Oz). Les coordonnées polaires (r, ) suffisent à décrire le mouvement dans ce référentiel.
L'essentiel est que tu voies que l'étude du mouvement dans le référentiel (R') est extrêmement simplifiée.
Ensuite le retour à l'étude dans le référentiel Galiléen se fait à l'aide de la loi de composition des mouvements donnée plus haut.
Bon courage !

Bonjours, je reviens à cet exercice on saoit que pour calculer la vitesse d'entrainement on doit calculer  Ω⋀OM (en vecteur) avec Ω = ωi mais comment calculer ici OM

Je sais que mes schémas laissent à désirer mais tout de même...
Le vecteur OM s'exprime très facilement en coordonnées sphériques (ou polaires).
Pour , je ne sais pas si tu as fait une faute de frappe mais tu as bien = .u_z

je pense à ceci si je comprends bien:
OM = Rcosθu_y' + Rsinθu_z

Perdu. C'était l'inverse. N'hésite pas à faire ton propre schéma
avec tes propres annotations pour ne pas te tromper !

Je vois z_M=Rcosθ et y'_M =Rsinθ
d'où OM = Rsinθu_y' + Rcosθu_z

Ok pour le moment, tiens-moi au courant pour la suite.

Pour la suite j'ai
Ve=ωRsinθ.u_z⋀u_y'+ωRcosθ.u_z⋀u_z
Mais u_z⋀u_z=0 donc Ve=ωRsinθu_z⋀u_y'

Bonjours, j'ai maintenant
Va=kt.u_θ+ωRsinθu_z⋀u_y'
Est ce que je peux limiter à ce résultat ou il y a une autre écriture plus simple

Il faut choisir entre coordonnées sphériques (u_r, u, u) ou les coordonnées cartésiennes (u_x, u_y, et u_z) pour avoir le résultat le plus simplifié possible.
De plus u_zu_y' vaut ???

u_z⋀u_y'=-u_x'

Ok, continue !!!
Que choisis-tu ? Coordonnées sphériques ? Ou cartésiennes ?
Plus sérieusement, au vu de la symétrie du problème je te conseille de garder les coordonnées sphériques pour simplifier, mais sache que tu trouveras les mêmes résultats si tu décides de rester en cartésien. C'est d'ailleurs ce que tu as fait pour le calcul de OM.