Hello

indice: pour déterminer , les propriétés du triangle sphérique me semblent pas mal ...

Avec les notations du schéma ci dessous:

Entre 2 instants t et t+dt, la carte AB passer de O (à l'instant t) à O'(à l'instant t+dt). On munit O d'un repère "mobile" tel que représenté pas les vecteurs en rouge du schéma et qui "suit" la carte (1er vecteur // méridien, 2eme vecteur // parallèle )

(fort "grossissement de l'angle n sur le schéma pour le rendre moins illisible)

(N,O,O') est un triangle sphérique. Ces angles vérifient donc:



Et du fait que O et O' sont tous 2 à la latitude

1)

2)

Et du fait que O est en O' à l'instant t:

3)

4)

Avec 1) et 2) Eq. 1 peut alors s'écrire



Entre t et t+dt Eq. 2  devient:



Avec 3) et 4)  Eq. 3 devient:



Or    et  

soit    

Or retrouve bien les valeurs "pressenties" de   au pôle (-) et à l'équateur (0)

(le signe moins venant du fait que c'est ici la carte qui est mobile vs l'observateur, comme vu dans le précédent msg)

Et on retrouve du même coup le lien avec le pendule de Foucault

Bonjour v3x0, Bonjour Dirac,
La trigonométrie sphérique permet effectivement une démonstration rigoureuse et élégante. Je pense cependant que la trigonométrie sphérique ne figure pas au programme de la majorité des licences (mises à part peut-être celles spécialisées en navigation aérienne ou maritime)... Je propose une démonstration moins générale puisqu'elle suppose la longueur L très inférieure au rayon terrestre R_T mais, puisqu'il s'agit ensuite d'appliquer le résultat à un pendule de Foucault, elle me semble acceptable. C'est d'ailleurs peut-être celle suggérée par l'énoncé car celui-ci demande de s'intéresser aux vitesses des points A et B.
À la date t_o, on trace sur le sol un segment (AB) de centre O, de longueur 2L orienté le long d'un méridien et on s'intéresse à son mouvement dans le référentiel (Ro) géocentrique. Dans (Ro) chaque point à la surface du sol se déplace vers l'est à la vitesse   où R est la distance du point considéré à l'axe des pôles : . Ainsi le point B, plus près de l'équateur, va un peu plus vite que le point O, qui va lui même un peu plus vite que le point A (voir Cas n°1 de la figure). Dans (Ro), le segment (AB) se déplace donc vers l'est tout en tournant sur lui-même dans le sens anti-horaire. Dans l'hémisphère sud, (voir Cas n° 2 de la figure), c'est le point A qui est le plus près de l'équateur et qui se déplace vers l'est le plus vite dans (Ro) ; le sens de rotation dans (Ro) est donc inversé par rapport à l'hémisphère nord.
Revenons aux cas n° 1. Entre les instants de date t_o et (t_o+dt), le centre O, de latitude , se déplace dans (Ro) vers l'est à la vitesse :


Le point A se déplace à la vitesse :


  avec :   par définition de la mesure d'un angle en radian. Puisque L<<R_T, il est possible de faire un développement limité à l'ordre 1. Dans le cas général, selon Taylor :



Appliqué à la fonction cosinus :





Raisonnement analogue pour le point B :



Les déplacements élémentaires dans (Ro) entre t_o et (t_o+dt) valent :



L'angle élémentaire de rotation dans le sens antihoraire est donc :



La vitesse angulaire de rotation de (AB) dans (Ro) est donc caractérisé par un vecteur rotation instantanée, orienté vers l'extérieur de la terre suivant la verticale locale dirigée par un vecteur unitaire   :



Il convient d'inverser le sens dans l'hémisphère sud.

Je pense que le concepteur de l'énoncé se conterait de cette réponse. Pour plus de rigueur, on peut montrer que le vecteur rotation instantanée reste fixe au cours de la rotation. Pour cela (voir figure cas n° 3), on part d'une date t quelconque où le segment (AB) à déjà tourné d'un angle   quelconque par rapport à la direction de l'axe (OY), direction fixe dans (Ro). Le calcul de la variation de latitude se calcule de la même manière en remplaçant L par   :





A la date t :



A la date (t+dt) :



La variation élémentaire de l'abscisse de l'extrémité A du segment est ainsi :



Or la différentielle de xA vaut :



Par identification :



Pour   :



On obtient la même vitesse angulaire, quelle que soit l'orientation de (AB) dans (Ro). Le cas particulier   correspond à un segment (AB) tracé suivant la direction est-ouest : tous les points du segment ont même vitesse par rapport à (Ro).
Je laisse v3xo continuer avec l'aide de dirac !

v3x0 en a de la chance: deux solutions sous le sapin!

Désolé de la réponse tardive, avec les fêtes je n'ai pas pu me connecter.
En tout cas, je vous remercie, j'ai bien pu visualiser le problème grâce à vos réponses.