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Viscosité d'un fluide

Posté par
mathsphysique
11-12-17 à 09:08

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide pour cet exercice

La boule de masse m=PbVb, ou Pb représente la masse volumique de la boule et Vb son volume, est plongée dans un fluide. Elle est reliée a un ressort a spires non jointives de raideur k et de longueur à vide l0.
De plus la boule qui reste entièrement immergée durant tout le mouvement est soumise a la poussée d'Archimède de norme Pa=PfVbG et de vecteur dirigé verticalement vers le haut, ou Pf représente la masse volumique du fluide et Vb le volume immigrée.
On note G=9.81m.s la norme de l'accélération de pesanteur.


La boule est soumise a une force de frottement donnée par la formule de Stokes:
F=-pi r n v
r et V represente le rayon et le vecteur vitesse de la boule


1)Donner la dimension des masse volumique Pb et Pf et du coefficient de viscosité n
2)A l'équilibre
Faire le bilan des forces à l'équilibre
En déduire une relation entre m,g,k,Vb,le,Pf,l0

3)Oscillations avec frottements
a)Faire le bilan des forces hors equilibre et ecrire la relation fondamentale de la dynamique

b)On pose x(t)=l(t)-l(0) , montrer que lequation différentielle dont x est solution s'ecrot ainsi
(d²x(t))/dt²+2lambda(dx(t)/dt)+W0²x(t)=0
Donner les valeurs de la pulsation propre W0 et de lambda

c)A t=0s, on etire le ressort et on le laache sans vitesse initiale
On observe que la boule oscille pendant un certain temps avec une pseudo periode T
En déduire l'expression générale de la solution de l'équation.Préciser les expressions de la pspeudo pulsation W et de T

d)Déterminer l'expression de la viscosité n en fonction de r, T, T0 et m ou T0 représente la peruode des oscullations lorsque la boule oscille dans le vide.

e)Application numérique
m=100g
r=20cm
k=50N.m
et on mesure une pseudo periode T=1.5s
Calculer la valeur de n et commenter cet valeur



Merci,et bonne journée

Posté par
mathsphysique
re : Viscosité d'un fluide 11-12-17 à 09:11

Shéma repréentatif, désolé pour le sens par contre

Viscosité d\'un fluide

***Image recadrée***

Posté par
dirac
re : Viscosité d'un fluide 11-12-17 à 09:42

Hello

hum hum ... en relisant tes précédents sujets, je pense que sur cet exercice tu devrais pouvoir au moins "décoller" et traiter les premières questions. Je suis curieux de savoir ce qui "bloque".

1) dimensions. Je fais le premier, tu feras \eta en suivant le même raisonnement

m = \rho_b \times V_b

donc \rho_b = \frac{m}{V_b}   donc   [\rho_b] = \frac{[m]}{[V_b]}

[m] = M
[V_b] = L^3

donc [\rho_b] = M.L^{-3}

2) A l'équilibre:

\Sigma\vec{Forces} = \vec{0}

Les forces étant:

- le poids de la boule: \vec{P}_b = +\rho_bV_b\vec{g}
- la poussée d'archimède  \vec{P}_b = -\rho_fV_b\vec{g}
- la tension du ressort \vec{T} = -k(\vec{l}_e -\vec{l}_0)

(la force de frottements, fonction linéaire de la vitesse étant nulle à l'équilibre)

En reportant les expressions de ces forces dans l'équation traduisant l'équilibre, tu réponds à la question

3) dans un état quelconque, la relation fondamentale de le dynamique, appliquée à la masse m te dit:

\Sigma\vec{Forces} = m\vec{a}     (Eq. 2)

Aux forces précédentes viens s'ajouter la force de frottements:

\vec{F} =  -\pi R\eta\vec{v}

avec:

\vec{a} = \frac{d^2x}{dt^2}\vec{i}
\vec{v} = \frac{dx}{dt}\vec{i}
\vec{l}-\vec{l}_0 = x\vec{i}

En injectant tout cela dans l'équation (Eq.2) tu établis l'expression demandée.

A toi?

Posté par
vanoise
re : Viscosité d'un fluide 11-12-17 à 16:27

Bonjour dirac, bonjour mathsphysique,
Juste une petite remarque et je laisse mathphysique gérer ce problème avec l'aide de dirac.
Je me demande s'il n'y a pas une erreur dans l'énoncé tel que mathsphysique l'a recopié. La force de frottement fluide modélisée par Stokes s'écrit habituellement :

\vec{F} =  -\textcolor{red}{6}\cdot\pi \cdot \eta\cdot r\cdot\vec{v} .
Evidemment, l'énoncé pourrait considérer comme une constante égale à 6 fois la constante de viscosité dynamique mais  ensuite, il demande de déterminer le coefficient de viscosité...



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