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vidange de réservoir
Bonjour à tous !
J'ai un exercice qui concerne la vidange d'un réservoir cylindrique et j'ai besoin de votre aide svp !
On me demande d'appliquer le théorème de bernoulli et de la conservation du débit sur le réservoir pour pouvoir en déduire une expression de la position de la surface libre en fonction du temps :
z(t) = ( -2g So² / (So²+Ss²) ) ( t - sqrt ( -H (So²-Ss²)/2gSo²))²
en posant So la section de l'évacuation et Ss celle du réservoir
et on connait les conditions : Z(0)=H et Z(Tf)=0
Pour la conservation du débit , j'obtiens : V(0)So=V(Z)Ss
et le théorème de Bernoulli : v(0)² =v(Z)² +2gZ
J'ai remplacé avec l'expression obtenue par la conservation du débit mais je ne parviens pas à aller plus loin ,sauriez vous m'aider svp ??
Merci !
v(0)² = v(z)² + 2gZ
V(0).So = V(Z).Ss
V(0) = Ss/So V(z)
[Ss/So V(z)]² = v(z)² +2gZ
v(z)² - (Ss/So)².v(z)² + 2gZ = 0
v(z)² (1 - (Ss/So)²) + 2gZ = 0
v(z)² (So² - Ss²)/So² + 2gZ = 0
Or v(z) = dz/dt
(dz/dt)² * (So² - Ss²)/So² + 2gZ = 0
(dz/dt)² * (So² - Ss²)/So² = -2gZ
(dz/dt)² = -[2g * So²/(So² - Ss)²] * z
dz/dt = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * racine(z)
dz/racine(z) = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] dt
on intègre :
2 * racine(z) = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * t + K
Or en t = 0, z = H --->
2 * racine(H) = K
On a alors :
2 * racine(z) = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * t + 2 * racine(H)
racine(z) = (1/2) * racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * t + racine(H)
racine(z) = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * [t/2 + racine(H) * racine((So² - Ss)²/(-2g.So²))]
racine(z) = racine[-2g * So²/(So² - Ss)²] * [t/2 - racine(H.(So² - Ss)²/(2g.So²))]
z(t) = [-2g * So²/(So² - Ss)²] * [t/2 - racine(H.(So² - Ss)²/(2g.So²))]²
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Et zut, dans ma réponse, il y a il y a un t/2 au lieu de t dans la réponse proposée et aussi un différence de signe ...
... Il reste à trouver les erreurs (dans ma réponse ou dans la solution proposée) . Moi je n'en ai pas le courage.
Je m'étais arrêté à l'apparition dans les calculs de la racine , ça me semblait étrange ! Je vais recommencer ! Merci beaucoup à vous
Je suis désolé de vous demander cela à nouveau mais je ne trouve pas l'erreur
or j'ai testé les deux formules différentes avec le logiciel matlab est la formule (t) = ( -2g So² / (So²-Ss²) ) ( t - sqrt ( -H (So²-Ss²)/2gSo²))² est cohérente avec le problème posé ! Sauriez vous m'aider à trouver l'erreur svp ?
bonsoir
V(0)² = v(z)² + 2gZ
V(0).So = V(Z).Ss => V(0) = Ss/So V(z)
donc
[Ss/So V(z)]² = v(z)² +2gZ
<=> v(z)2 = kz avec k = 2g / ( (Ss2/So2) - 1) > 0
v(z) = dz/dt < 0
donc dz/dt = - 
kz
en séparant les variables, on trouve:
dz/z = -k dt
d'où en intégrant:
2z = -k t + C
comme à t=0, z=H C=2 H
d'où enfin
z = -k t/2 + H
z = (H -k t/2 ) 2
J'ai vérifié mes calculs et après quelques corrections des distractions, j'ai ceci :
v(0)² = v(z)² + 2gZ
V(0).So = V(Z).Ss
V(0) = Ss/So V(z)
[Ss/So V(z)]² = v(z)² +2gZ
v(z)² - (Ss/So)².v(z)² + 2gZ = 0
v(z)² (1 - (Ss/So)²) + 2gZ = 0
v(z)² (So² - Ss²)/So² + 2gZ = 0
Or v(z) = dz/dt
(dz/dt)² * (So² - Ss²)/So² + 2gZ = 0
(dz/dt)² * (So² - Ss²)/So² = -2gZ
(dz/dt)² = -[2g * So²/(So² - Ss²)] * z
dz/dt = - racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * racine(z)
dz/racine(z) = - racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] dt
on intègre :
2 * racine(z) = - racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * t + K
Or en t = 0, z = H --->
2 * racine(H) = K
On a alors :
2 * racine(z) = - racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * t + 2 * racine(H)
racine(z) = - (1/2) * racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * t + racine(H)
racine(z) = -racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * [t/2 - racine(H) * racine((So² - Ss²)/(-2g.So²))]
racine(z) = -racine[-2g * So²/(So² - Ss²)] * [t/2 - racine(-H.(So² - Ss²)/(2g.So²))]
z(t) = [-2g * So²/(So² - Ss²)] * [t/2 - racine(-H.(So² - Ss²)/(2g.So²))]²
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Mais toujours le t/2 comme différence par rapport à la réponse du corrigé.
Ma réponse est, il me semble, conforme à celle de krinn.
Si on prolonge sa réponse pour qu'elle "ressemble" à la réponse proposée, on aurait :
z = (racine(H) - racine(k) . t/2)²
z = [-racine(k) * (t/2 - racine(H/k))]²
z = k * (t/2 - racine(H/k))²
et avec k = 2g/((Ss²/So²) - 1) = 2gSo²/(Ss²-So²) = -2gSo²/(So²-Ss²), il vient :
z = (-2gSo²/(So²-Ss²)) * (t/2 - racine(H/(-2gSo²/(So²-Ss²))))²
z = (-2gSo²/(So²-Ss²)) * [t/2 - racine(-H.(So²-Ss²)/(2gSo²))]²
... identique à ma réponse avec erreurs corrigées.
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