Bonjour,
je suis bloqué face à une question de l'exercice suivant :
On s'intéresse aux vibrations latérales d'une tour (figure a) grâce à un système à 1 ddl "masse-ressort-amortisseur" (partie gauche de figure b). Généralement, en haut des tours, les vibrations sont si importantes qu'elles gênent les habitants. C'est pourquoi on décide d'installer une masse additionnelle à l'étage supérieur de la tour (partie droite de figure b). Cette masse est si importante qu'elle ne bouge quasiment pas, ce qui revient à considérer le modèle à 1 ddl de la figure b).
On suppose la tour d'une masse uniformément répartie sur la hauteur. En partant du principe d'équivalence de l'énergie cinétique entre la tour réelle (poutre continue homogène encastrée libre de la figure a) et le modèle simplifié (figure b), montrer que la masse équivalente ("modale") du système discret est .
Rappel : le premier mode de vibration d'une poutre encastrée libre est, sous forme normalisée : où est la hauteur de la poutre.


Dans mon cours, j'ai que le raideur d'une poutre en flexion s'écrit .
Par ailleurs, j'ai calculé les raideurs et amortissments équivalents de la figure b) : et (je ne sais pas si ce sera utile).

Selon moi, l'énergie cinétique de la figure b) s'écrit et celle de a) : je ne vois pas quoi mettre à la place des petits points et, dans mon cours, je n'ai pas de relation entre l'énergie et les modes de vibrations.
En regardant la figure a), j'ai l'impression que le déplacement latéral de la tour, s'identifie à
Et donc ;
Sinon, le DL en 0 de donne ce qui fait apparaitre un 8 comme dans la relation demandée mais je ne vois pas vraiment de raison de faire ce DL en 0
Je suis donc un peu bloqué et je ne vois pas comment aboutir à la relation entre les masses...


Merci à vous !