Comment répondre clairement?
En cartésien tu n'as pas de soucis a décomposer un vecteur suivant les directeurs unitaires?Bien, car dans ta tête tu te dis qu'ils sont toujours selon le même axe alors que e(theta) par exemple il tourne lui ?

Ex cylindrique: tu as e(r) qui est suivant le vecteur position. Si ton objet en point M et donc OM porté par e(r) se déplace quelquepart, si tu dois écrire le vecteur vitesse de M et bien tu devras dériver ce vecteur e(r) par rapport au temps. L'astuce consiste a dire que la variation de e(r) au cours du temps est equivalement a la variation de e(r) en fontion de theta (l'angle qui fait e(r) avec une référence arbitraire ton axe x par exemple) fois l'évoution de theta au cours du temps.
Le terme " variation de e(r) en fonction de theta " est evidemment un vecteur lui aussi et il se nomme ... e(theta). Et voila comment est défini e(theta), peut importe où ton poin est et quel mouvement il décrit. Autrement dit, e(theta) est un vecteur unitaire orthogonal a e(r) toujours (avec son sens défini par convention comme cité au dessus ). Et lui e(z) et bien si tu derives e(z) au cours du temps et bien ça fait zero car la direction qu'il porte est toujours la même, indépendamment de l'objet que tu étudies.

En termes maths c'est : d(e_r)/dt = d(e_r)/dO * dO/dt = e_0*(theta point) [où O represente theta]

Est ce seulement une pirouette mathématique? Non, evidemment, en fait c'est logique:

Si ton vecteur e_(r) entre deux instants t et t+dt passes d'un position a l'autre cela veut dire qu'il passe d'un angle O a O+dO. Ainsi:  e_r(t+dt) - e_r(t) = e_0*A où A est juste quelquchose qui indique la proportionalité de la translation de e_r(fais le dessin tu verras peut etre mieux, si je mets un A c'est que e_0 est unitaire dc ca m'embete que sa taille varie si e_r change bcp par exemple). Ce A finalement c'est deja un nombre sans unité,déja. Ensuite comment traduire cette proportionalité, comment la comprendre ? C'est une distance on est d'accord? d'autant plus grande que entre t et t+dt le chemin parcouru par la pointe de la flèche de e_r est important. Ce n'est ni plus ni moins la distance parcouru par la pointe de e_r tout simplement.
C'est donc une vitesse (angulaire) de e_r multiplié par le temps qu'il a fallu a e_r pour passer de t a t+dt soit dt. Finalement, e_r(t+dt) - e_r(t) = e_0*A = e_0*(theta point)*dt et si tu retouves la formule au dessus écrite avec la notion de dérivée.


C'est ainsi par construction que tous ces vecteurs unitaires apparaissent. De manière générique e_(r) e_(theta), e_(phi) (en sphérique) ne sont jamais fixes au cours du temps, seul e(z) l'est.

Mais en partant de e_r tu peux reconstruire tous les autres et après tu sauras exactement où est qui a force de les utiliser.Le fait est que par exemple en cylindrique, la base cylindrique n'est tout simplement que une basse orthogonale (comme en cartésien) mais qui bouge avec ton point d'étude. Si tu te places au niveau du point tu y verras un ex, ey et ez comme en cartésien a la seule différence que entre un instant et l'autre la base aura bougée (mais elle sera toujours orthogonale et attachée a ce point).


Voila j'espére que ça a pu t'éclairer.

Tchuss