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Vecteurs, Bases, Composantes...
Bonjour à tous !
Je viens d'entrer dans une prépa intégrée pour une école d'ingénieur et je suis dans une classe où tout le monde n'a pas suivi les mêmes enseignements l'année dernière. Je viens de commencer la statique et je suis déjà larguée, c'est pourquoi j'aurais besoin de votre aide pour m'éclaircir sur un exercice que l'on a corrigé et expliqué en classe, mais rien n'y fait, je comprends rien.
Voici l'énoncé :
Dans la base (ex
,ey), la force F a pour composantes (-2N,-2N).
a) Montrer que les vecteurs e1=(ex - ey)/
2 et e2=(ex + ey)/2
forment une base orthonormée du plan.
b) Déterminer les composantes de F dans la base (e1,e2).
Tout d'abord, je n'ai pas l'habitude d'utiliser la notation (ex,ey) mais (
,
) ce qui me complique pas mal la tâche
Notre prof nous a guidés en écrivant :
* Montrer que n vecteurs forment une base, montrer que c'est un système libre. (HELP : je ne comprends pas le principe des "n vecteurs" et je n'ai pas saisi la définition de système libre)
* Montrer que c'est un système générateur. (là non plus je ne comprends pas la définition d'un système générateur)
Et voici ce que l'on a écrit pour la correction :
a1.e1 + a2.e2 = a1.((ex-ey)/2) + a2.((ex+ey)/2)
a1.e1 + a2.e2 = ((a1+a2)/2).ex + ((a2-a1)/2).ey = 0
(je ne sais pas d'où sortent les a, ni pourquoi de la ligne 1 à la ligne 2 on "échange" les termes a et e, et pourquoi ça fait zéro ?!)
Bref, la suite :
(a1+a2)/2 = 0
(a2-a1)/2 = 0 (c'est un système)
a1+a2 = 0
a2-a1 = 0
a1 = a2 = 0 ça, ça va.
Ensuite, montrer que c'est un système générateur :
= v1.e1 + v2.e2 = ((v1+v2)/2).ex + ((v2-v1)/2).ey
= ax.ex + ay.ey = ((ax-ay)/2).e1 + ((ax+ay)/2).e2
e1(1/2,-1/2) 
e1=1
e2(1/2,1/2) e2=1
Comment fait-on pour trouver les coordonnées de e1 et e2 ?
Bon après la norme est égale à 1, c'est bon, et le produit scalaire égal à zéro, on a notre conclusion, ça j'ai compris.
En fait je crois que le gros problème c'est que je ne comprends pas les notations et le vocabulaire, et qu'il aurait fallu détailler un peu plus le calcul, car j'ai du mal à trouver un lien logique entre chaque ligne.
Ensuite, deuxième question que l'on a pas eu le temps de commenter car fin du cours :
F(-2N,-2N) dans (e1,e2) :
F(F1,F2) = (ax-ay=0 , -4N/2)
F = (-4/2).e2
Hum, ça va pas du tout.
Je vous serais extrêmement reconnaissante de prendre le temps de m'expliquer, voire de m'enseigner votre méthode pour cet exercice, car être autant perdue dès la première semaine me fait peur à un point...!
Merci d'avance...
Il n'y a rien de difficile une fois que l'on comprend le concept.
Une famille de vecteur est libre ssi
En gros, ça veut dire qu'aucun vecteur de la famille ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (= somme pondérée) des autres.
Ce que ton prof a écrit c'est exactement la
Pour montrer que la même famille est génératrice, il faut montrer que tout vecteur peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de base.
Fause manip', le message entier :
Il n'y a rien de difficile une fois que l'on comprend le concept.
Une famille de vecteur est libre ssi
En gros, ça veut dire qu'aucun vecteur de la famille ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (= somme pondérée) des autres.
Ce que ton prof a écrit c'est exactement la condition ci-dessus appliquée à ton exemple.
Pour montrer que la même famille est génératrice, il faut montrer que tout vecteur peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de base (dans par exemple, n'importe quel vecteur peut s'écrire sous la forme
). C'est ce que ton prof a fait ensuite.
Pour ce qui est des notations qui te dérangent, pas le choix. Habitue-toi dès maintenant.
La famille de vecteurs libres dont tu parles c'est la famille de "e" ?? Mais pourquoi on a besoin de vecteurs libres pour résoudre la première question ?
Et d'une famille génératrice ?
Maintenant que tu m'as expliquée les critères de ces familles ça va, mais j'aimerais bien connaitre leur rôle, tu peux m'expliquer stp ?
Pour ce qui est de la famille génératrice, j'ai au moins compris le principe. Mais la partie du haut, je ne vois toujours pas. Pourquoi intervertit-on les "ex et ey" de la paranthèse avec les "a1 et a2" ? Et donc pourquoi a-t-on besoin de faire intervenir une famille de vecteurs libres pour montrer que e1 et e2 sont une base ?
On exprime tout en fonction de et
parce que l'on sait déjà que ces deux vecteurs forment une base (et vérifie donc les propriétés que l'on cherche à démontrer pour la nouvelle base).
Le fait qu'une famille soit génératrice indique que les quelques vecteurs la constituant suffisent à décrire l'ensemble des vecteurs d'un espace donné.
Le fait qu'une famille soit libre indique qu'il n'y a pas de redondance dans les vecteurs la constituant, que chacun "apporte" quelque chose.
Une famille à la fois génératrice ET libre forme une base, c'est à dire une famille constituée du nombre minimum de vecteurs permettant de décrire tout l'espace.
C'est pour ça que l'on cherche à démontrer les deux propriétés pour conclure à la troisième.
Par exemple dans
La famille est libre mais non génératrice.
La famille est génératrice mais n'est pas libre...
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