Bonjour emiiii,

nous n'avons pas la meme definition du vecteur excentricite, appele aussi "vecteur de Lenz". Je vais e faire la demonstration en prenant la definition donnee sur le site de wikipedia , soit e = pL - m.k.u_r dans laquelle p = mv et la quantite de mouvement du mobile M, L = OMp est son moment cinetique, u_r le vecteur unitaire dans la direction de OM (donc OM = r.u_r) et k une constante qui, dans le cas d'un pb de mecanique celeste, vaut k = GMm, ce qui permet d'ecrire la force d'attraction universelle agissant sur M comme f = -(k/r²).u_r. Je mets les vecteurs en gras : ca ne se voit pas tres bien, mais c'est mieux que les fleches qui ne sont vraiment pas pratiques.
J'appelle aussi u le vecteur unitaire normal a u_r, et u_z l'unitaire normal aux deux premiers donc perpendiculaire au plan de la trajectoire.
Rappelons tout de suite que L = mCu_z = mr²(d/dt)u_z est un vecteur constant (en direction, sens et module), que du_r/dt = (d/dt).u et enfin que la derivee du produit vectoriel ab est (da/dt)b + a(db/dt). Pret ?

Alors en effet il faut deriver le vecteur e, ce qui donne :
de/dt = (dp/dt)L + p(dL/dt) - mk(du_r/dt).
*)  le second terme est nul car dL/dt et nul ;
*)  le premier vaut fL = [(-k/r²).u_r][mr²(d/dt).u_z], soit -km(d/dt).u_ru_z ou encore km(d/dt).u, puisque u_ru_z = -u.
*)  le dernier terme vaut -km(d/dt).u.

On a bien finalement e = 0.

Si tu as desquestins n'hesite pas.

Prbebo.

Bonjour,

JP Pérez donne les définitions suivantes : pour une loi de force centrale en , le moment cinétique est

vecteur excentricité

vecteur de Runge-Lenz .

Cela revient au même, mais il y a apparemment plusieurs définitions selon les profs et les auteurs.... il faut juste se mettre d'accord sur les définitions utilisées.

Bonsoir Alban,

en effet le vecteur de Runge-Lenz a au moins trois definitions connues : celle donnee dans Wikipedia, que j'ai citee pour emiiii car elle a le merite d'etre facilement accessible par le web ; la mienne, que j'ai enseignee pendant 5 ans en fac : e = Lp/(mk) + u_r ou le produit vectoriel et le vecteur u_r ont change de signe (je n'y tiens pas particulierement), et maintenant celle de JM Perez. C'est pourquoi, avant de faire le calcul pour emiiii, j'ai prefere lui signaler ce detail, afin que les choses soient claires pour lui.

Je ne connais pas personnellement Jose-Philippe Perez, mais je connais tres bien Olivier Pujol, toulousain lui aussi et qui est en contact permanent avec JP.  Olivier est maitre de conferences a Lille, dans le laboratoire que je viens a peine de quitter (retraite oblige), et vient de cosigner avec JP un condense de physique a l'usage des etudiants en MPSI, PCSI et PTSI, et qui est un modele de clarte et de concision . Si tu as l'occasion de l'acquerir (ce n'est pas cher), tu ne le regretteras pas.
Je vois Olivier demain et je lui demanderai pourquoi il y a plusieurs definitions du vecteur de Lenz.

Bonne soiree,

Bernard.

Bonjour prbebo,

Les gens de ce forum ont de la chance d'avoir un expert et un physicien profesionnel tel que vous pour répondre aux questions !

Je ne cherche pas spécialement de livre de prépa en ce moemnt, mais je note votre recommandation (j'ai déjà "les Pérez", et puis je ne suis plus étudiant depuis.... longtemps).

Sinon, j'ai véfifié aussi dans le Golstein, et il donne la même formule que vous (ou vous donnez la même que lui, comme vous préférez ). Par contre, il ne l'appelle ni vevteur de Lenz, ni vecteur de Runge-Lenz, mais vecteur de Laplace-Runge-Lenz !!! Il faut choisir le nom qu'on lui donne en fonction du temps qu'il reste avant de rnedre la copie !

La définition de JP Pérez est la votre, mais par unité de masse.