Niveau école ingénieur

Vecteur déplacement élémentaire

Posté par
RBNYC 13-09-15 à 10:47

Bonjour, j'ai un exercice de rappel à faire sur le vecteur deplacement élémentaire. Je vais vous exposer le soucis et vous montrer ce que j'ai fait, cependant j'ai un doute sur une formule, merci de m'éclairer.

Un point M se déplace sur un contour orienté, du point A (2,2,1) a B (0,2,1) puis de B a C (0,0,1) et enfin de C a A (coordonnées cartesiennes). Pour chaque partie du contour indiquer l'expression du vecteur deplacement elementaire.

Voici ce que j'ai fait :
De A a B seul x varie dans le sens opposé au vecteur unitaire i donc dl=-dx i (sachant que i est un vecteur, je ne sais pas comment mettre la fleche dessus)
De B a C dl= -dy j(vecteur) car y varie seul dans le sens opposé de j
De C a A dl=dx i + dy j car x et y varient dans le meme sens que i et j.

Cependant j'ai vu un de mes camarades écrire que la formule du déplacement elementaire était vecteurAB/normeduvecteurAB. Pour moi cette formule est celle du vecteur unitaire et pas du dl. Pourriez vous m'éclairer ? Merci !

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 14:24

Bonjour,

Citation :
De B a C dl= -dy j(vecteur) car y varie seul dans le sens opposé de j

J'écrirais plutot : $\overrightarrow{dl}=dy.\overrightarrow{j}$ sachant que dy < 0 puisque y diminue au cours du mouvement.

Citation :
De C a A dl=dx i + dy j car x et y varient dans le meme sens que i et j.

Ce n'est pas faux car x et y varient simultanément mais il faut aussi prendre en compte le fait que le vecteur déplacement élémentaire est colinéaire au vecteur CA.
Dans ce cas particulier où le point C est sur l'axe (Oz) avec de plus : x(A)=y(A) ; dans ces conditions, lors d'un déplacement élémentaire suivant CA, nous avons nécessairement dx = dy ;d'où l'expression :
$\overrightarrow{dl}=dx.\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)$
Tu peux vérifier que ce vecteur $\vec{dl}$ est bien colinéaire au vecteur unitaire défini par tes camarades.

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 16:58

D'accord merci beaucoup, cependant est-ce que la formule dl= vecteurAB/normeduvecteurAB est vraie ? Car pour moi il s'agit de la formule du vecteur unitaire

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 17:48

Tu as tout à fait raison ! De toutes façons, un vecteur unitaire, ne peut en aucune façon être égal à un vecteur déplacement élémentaire. En revanche, il est possible d'écrire :
$\overrightarrow{dl}=\Vert\overrightarrow{dl}\Vert.\overrightarrow{u}$
avec :
$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\Vert\overrightarrow{AC}\Vert}=\frac{2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{2j}}{\sqrt{8}}=\frac{\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}$

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 17:57

Et en faisant dl(vecteur)= dl.u(vecteur) on obtient toujours dl=dx(i+j) ?

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 17:57

Merci car ça me semblait bizarre d'écrire qu'un dl valait un vecteur unitaire !

Posté par re : Vecteur déplacement élémentaire 13-09-15 à 20:46

Citation :
Et en faisant dl(vecteur)= dl.u(vecteur) on obtient toujours dl=dx(i+j) ?

Bien sûr ! Heureusement !
$\Vert\overrightarrow{dl}\Vert=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{2}.dx\qquad puisque\quad\quad dx=dy$ (pas de problème de signe ici car dx>0)

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