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Variation pression avec altitude

Posté par
jerem86 04-01-10 à 09:06

Bonjour,

Dans un référentiel d'inertie, l'équation décrivant l'équilibre d'un fluide est :

$\int{\frac{1}{\rho}dp} + gh = constante$

J'ai un problème pour comprendre comment démontrer les relations suivantes (on assimile l'air à un gaz parfait dont l'évolution est adiabatique $pV^{\gamma} = constante$ :

$p(h) = p_0 (1-\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{h\rho_0 g}{p_0})^{\frac{\gamma}{\gamma-1}$

$\rho (h) = \rho_0 (1-\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{h\rho_0 g}{p_0})^{\frac{1}{\gamma-1}$

et

$T(h) = T_0(1-\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{h\rho_0 g}{p_0})$

La première équation c'est pour la pression et la deuxième c'est la masse volumique (ça se voit pas très bien en Latex j'ai l'impression).

Je ne vois pas comment commencer en fait,

Merci de votre aide,

Posté par re : Variation pression avec altitude 04-01-10 à 16:30

Tu peux commencer par vérifier que la relation $pV^{\gamma}=Cste$ que l'on te donne, caractéristique d'une transformation adiabatique pour un gaz parfait, peut aussi se mettre sous la forme:

$p^{1-\gamma}T^{\gamma}=Cste$

En différentiant cette équation, on trouve:

$\left(1-\gamma\right)p^{-\gamma}T^{\gamma}{\rm d}p+\gamma p^{1-\gamma}T^{\gamma-1}{\rm d}T=0$

ce qui s'écrit aussi:

$\frac{{\rm d}p}{p}=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{{\rm d}T}{T}$

Posté par re : Variation pression avec altitude 04-01-10 à 16:35

Il ne te reste plus qu'à utiliser la loi fondamentale de l'hydrostatique donnée au début de ton énoncé pour en déduire une relation entre ${\rm d}T$ et ${\rm d}h$ qui après intégration te donnera l'expression de $T(h)$ . $p(h)$ et $\rho(h)$ s'en déduisent facilement.

Posté par re : Variation pression avec altitude 04-01-10 à 19:11

Merci,

Je vois bien comment tu arrives à cette expression. Je suis arrivé à un truc qui ressemble à l'équation de T(h).
Mais la valeur de T on peut décider que c'est T0 ?

En fait, j'arrive à : $T(h) = T(1 - \frac{\gamma \rho g h}{P (\gamma -1})$ . Mais le problème c'est que pour ça j'ai posé que rho était constant.

En fait, j'ai $dT = -T \frac{(\gamma -1) g \rho dh}{\gamma P}$ .

Posté par re : Variation pression avec altitude 05-01-10 à 00:45

On ne peut évidemment pas supposer a priori que $\rho$ est constant, d'autant plus que son expression, donnée dans l'énoncé, indique que ce n'est clairement pas le cas.

Pour faire disparaître $\rho$ , il te faut utiliser l'équation des gaz parfaits sous la forme:

$p=\frac{\rho R}{M}T$

puis la relation

${\rm d}p=\frac{\rho R}{M}T$ (que tu as déjà utilisée apparemment)

Injectées dans celle-ci:

$\frac{{\rm d}p}{p}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{{\rm d}T}{T}$

ces deux relations te permettent de trouver l'expression recherchée.