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Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entropie

Posté par
nexide 22-10-18 à 18:30

Bonjour,

L'équation d'état d'un gaz (G) de N particules s'écrit:

P = \frac { N k _ { \mathrm { B } } T } { V } \left[ 1 + \frac { N } { V } \left( b - \frac { a } { T } \right) \right] = n k _ { \mathrm { B } } T \left[ 1 + n \left( b - \frac { a } { T } \right) \right] et T > a / b , n = N / Vla densité de particules, a et b deux constantes positives.

\ell = T \left( \frac { \partial P } { \partial T } \right) _ { V } et ( \frac { \partial C _ { V } } { \partial V } )_ { T } = T \left( \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial T ^ { 2 } } \right) _ { V }

On considère une transformation isotherme où le gaz (G) passe d'un volume V_i  à un volume V_f .

La différentielle de l'entropie S : dS=\mathrm { C } _ { \mathrm { V } } \mathrm { d } \mathrm { T } + \ell \mathrm { d } \mathrm { V }

La variation d'énergie interne s'écrit  :\Delta U = - N ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } a \left( \frac { 1 } {  { V } _ { \mathrm { f } } } - \frac { 1 } {  { V } _ { \mathrm { i } } } \right)


La variation d'entropie s'écrit : \Delta S = N k _ { \mathrm { B } } \ln \frac { V _ { \mathrm { f } } } { V _ { \mathrm { i } } } - N ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } b \left( \frac { 1 } {  { V } _ { \mathrm { f } } } - \frac { 1 } {  { V } _ { \mathrm { i } } } \right)

Un récipient à parois rigides et diathermes est en contact avec un thermostat de température constante T_0. Dans le récipient sont ménagés deux compartiments séparés par une cloison mobile et diatherme. Les deux compartiments contiennent le gaz obéissant à l'équation (G) : dans l'état initial, la paroi est bloquée telle que

- le compartiment (1) contient une mole N_ade gaz dans le volumeV _ { 1 } = 2 V / 3
- le compartiment (2) contient deux moles 2N_ade gaz dans le volumeV _ { 1 } = V / 3
On libère la paroi qui se déplace vers l'équilibre, où l'on observe alors dans les compartiments les volumes V _ { 1 } ^ { \prime } ,V _ { 2 } ^ { \prime } avec les pressions P'_1 et  P'_2  et les densités de particules n'_1 et n'_2 .

Quelle est la variation d'entropie de l'univers ?

Je pense que P'_1= P'_2 et n'_2=n'_1  la fin de cette transformation quasi-statique.
Je peux donc utiliser la formule \Delta S pour les 2 compartiments mais comment exprimer \Delta S _ { \text { thermostat } } pour

\Delta S _ { \text { univers } } = \Delta S _ { \text { thermostat } } + \Delta S _ { 1 } + \Delta S _ { 2 }  ?

Merci.

Posté par
vanoisere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 18:54

Bonjour
Il te faut revoir certaines des formules que tu as écrites :

dS=\frac{1}{T}\cdot\left(\mathrm{C}_{\mathrm{V}}\mathrm{d}\mathrm{T}+\ell\mathrm{d}\mathrm{V}\right)
Revois aussi l'expression en-dessous concernant U.
Sinon, je suppose que les deux gaz sont à l'état initial et à l'état final à la température To du thermostat.
Les pressions initiales sont différentes : le piston va donc se déplacer jusqu'à l'équilibre des pressions et des températures. OK mais je pense que, sauf dispositif permettant un déplacement lent de ce piston, le déplacement est brutal. Bref : l'évolution est irréversible, pas quasi statique, sauf évidemment précisions supplémentaires de l'énoncé.
Je t'explique la méthode générale pour calculer la variation d'entropie d'un thermostat Sth. Soit Q la quantité totale de chaleur reçue par l'ensemble des deux gaz. Le thermostat reçoit évidemment la quantité de chaleur (-Q). Par définition la température du thermostat reste fixe. Puisque l'entropie est une fonction d'état, comme expliqué dans le topic précédent, on peut calculer Sth en imaginant une évolution fictive réversible isotherme . Cela conduit à :

\Delta S_{th}=-\frac{Q}{T_{0}}

Posté par
nexidere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 19:14

Merci de votre réponse.

Oui,j'ai fait une erreur c'est  Td S = \mathrm { C } _ { \mathrm { v } } \mathrm { d } \mathrm { T } + \ell \mathrm { d } \mathrm { V } ,mais \Delta U est juste.

Si j'ai compris Q=\int TdS=\int \ell_{compartiment 1} dV+\int \ell_{compartiment 2} dV ?

Posté par
vanoisere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 19:22

Confusion de ma part entre un "a" et un "b" : pas de problème pour U.
Pour Q,  ta méthode ne convient pas car ton évolution réelle est irréversible. Il y a une astuce toute bête : appliquer le premier principe au système constitué des deux gaz : le résultat est extrêmement simple...

Posté par
nexidere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 19:48

Comme le travail du système gaz 1 et gaz 2 est nul somme toute, on a \Delta U_{gaz1+gaz 2}=W+Q=Q=\Delta U_{gaz1}+\Delta U_{gaz2}=0 ?

Posté par
vanoisere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 20:50

Cela conduit effectivement à :

\Delta U_{gaz1}+\Delta U_{gaz2}=Q

Avec deux gaz parfaits, on obtiendrait bien sûr Q=0. Ici, ce n'est pas évident car les deux gaz changent de volumes et les quantités de molécules sont différentes. Si tu as déjà obtenu V'1 et V'2, le calcul n'est pas trop difficile.

Posté par
nexidere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 20:56

J'ai V_1'=V_2=V/3 et V_1=V'_2=2V/3 donc  \Delta U _ { g a z 1 } + \Delta U _ { g a z 2 } = Q=0.

Posté par
vanoisere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 21:04

Super !

Posté par
nexidere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 21:17

\Delta S_ { univers } = \Delta S _ { \text { thermostat } } + \Delta S _ { 1 } + \Delta S _ { 2 }= \Delta S _ { 1 } + \Delta S _ { 2 }=0  ? C'est donc réversible ?

Posté par
vanoisere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 22:19

J'ai l'impression que tu as calculé (U1+U2) puis (S1+S2) comme si les deux gaz contenaient les mêmes quantités de molécules ...
Puisque l'évolution globale (celle de "l'univers") est à la fois adiabatique et irréversible, l'entropie de l'univers doit augmenter...

Posté par
nexidere : Variation isotherme d' un gaz réel et changement d'entrop 22-10-18 à 22:54

Oui,je vois mon erreur.
Q=\Delta U _ { g a z 1 } + \Delta U _ { g a z 2 } est positif, et\Delta S_{univers}   est bien positif.

Merci.


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