Niveau licence

Variation d'énergie potentielle d'un corps

Posté par
mikel83 28-03-18 à 09:26

Bonjour à tous!
La variation de l'énergie potentielle U lorsqu'on fait tourner un corps d'un angle d infiniment petit est:
  dU=-f.dr  où f est le vecteur force appliqué à un point, et dr le vecteur déplacement élémentaire de ce point.
Comme dr=dxr  ,  où d et le vecteur rotation infiniment petit et x le produit vectoriel, on a donc
U=-f.(dxdr).
On me dit que cette expression est égale à -drxf  ??? Comment fait-on ce passage ?
Pour finalement arriver à dU=-Kd  où K=rxf

Posté par re : Variation d'énergie potentielle d'un corps 28-03-18 à 14:48

Bonjour
Tu as sûrement étudié en math le fait que le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois termes ?
Si on note $\overrightarrow{\Omega}$ le vecteur rotation instantané, le travail élémentaire de la force f appliqué en un point M en mouvement s'écrit :

$\delta W=\overrightarrow{f}.d\overrightarrow{r}$
avec vecteur dr : vecteur déplacement élémentaire.

$d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{V_{(M)}}.dt=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}.dt$
où O est un point fixe quelconque de l'axe de rotation.

$\delta W=\overrightarrow{f}.d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{f}.\left(\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}\right).dt=\left(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{f}\right).\overrightarrow{\Omega}.dt$

$\left(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{f}\right)$ représente le moment en O de la force de vecteur $\overrightarrow{f}$ . Si on veut, on pose :

$d\overrightarrow{\varphi}=\overrightarrow{\Omega}.dt$
Si la force est conservative :

$dU=-\delta W=-\left(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{f}\right).d\overrightarrow{\varphi}$