Niveau licence

variables action-angle

Posté par
jybb 28-04-22 à 00:35

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon problème (niveau L3 physique) :
On a (Oz) l'axe vertical ascendant, de vecteur unitaire $\vec{u}_z$ et dont l'origine est au sol. Une particule de masse m est en chute libre dans le champ de pesanteur $\vec{g} = -g\vec{u}_z$ . A l'instant initial, elle est lachée sans vitesse initiale d'une hauteur h. La trajectoire est sur l'axe (Oz), et le hamiltonien du système s'écrit : $H(z, p_z) = \dfrac{p_z^2}{2m} + mgz$

La particule tombe jusqu'au sol en z=0, rebondit élastiquement et revient à sa position initiale (donc pas de perte d'énergie). Le mouvement est donc périodique. On étudie le problème avec les variables action-angle.

1) Représenter la trajectoire dans l'espace des phases
2) Calculer la variable action J en fonction de l'énergie $E=mgh$ et des constantes du problème.
3) Calculer la pulsation $\omega$ du mouvement périodique. En déduire la loi horaire sur la phase $\phi(t)$
4) Pour revenir aux variables $z$ et $p_z$ , on doit exprimer la fonction génératrice $F_2(z, J)$ . La calculer.
5) En déduire la loi horaire $z(t)$

Je suis arrivé à faire les questions 1 et 2, j'ai calculé la valeur de J en fonction des constantes du problème.
Mais je bloque sur le calcul de la pulsation q3) $\omega$ ... En fait je bloque pour réexprimer le hamiltonien dans les variables action-angle $H'(\phi, J)$ , j'ai fait ça :

$H'(\phi, J) = \dfrac{1}{2m}J^2 + mg\phi$

Mais ça me dérange car $\phi$ est censée être cyclique donc forcément absente du hamiltonien ?