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Niveau école ingénieur
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Une trajectoire circulaire plane

Posté par
IamMe
18-09-20 à 09:25

Bonjour, j'ai du mal avec un exercice...

Soit R un référentiel et R (O,ex,ey,ez) un repère cartésien associé R. Dans ce référentiel R, le point M décrit une trajectoire circulaire dans le plan (O,ex,ey), de rayon R0 et de centre A.

1 .Donner l'équation cartésienne de la trajectoire de M par rapport à R dans le repère R.

2 .Proposer un repère, R′, cartésien de R plus pratique pour décrire la trajectoire. Que devient l'équation cartésienne dans ce repère ? La vitesse angulaire du point M autour du point A est donnée par ω(t). Cette vitesse suit la loi suivante : ω=ω0sinαt, où α et ω0  sont des constantes positives. Àt=0, M est sur (A,ex).

3 .Décrire la trajectoire sous forme paramétrique en fonction du temps, dans les repères R,R′ et en coordonnées polaires associées à R′.

4 .Quelle partie du cercle le point M décrit-il ?


5 .Que vaut la vitesse de M par rapport à R, calculée et exprimée dans les trois repères proposés à la question précédente ?

6 .En quel point et en quel instant, l'accélération est-elle la plus importante?

1.(x-xA)^2 + (y-ya)^2 = Ro2

2.R'(A,ex,ey)

AM = x'.ex + y'.ey

OM = OA + AM
Donc x = xa+ x'
y = ya + y'

Donc l'équation cartésienne devient :
x'^2+y'^2 = Ro^2

3. J'ai voulu commencé par les coordonnées polaires associées à R',

Repère polaire (A, er, e)
Avec er = AM/norme de AM
r = norme de AM
et l'angle entre ex et AM.
Mais je ne vois pas comment définir la trajectoire sous forme paramétrique. En fait c'est la vitesse angulaire qui me gêne : je ne sais pas comment "l'implanter" dans les formes paramétriques...

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 09:37

Bonjour
Angle polaire  : angle entre Axa et AM.
Faire une figure et la poster ici.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 13:36

Ci-joint l'image de la figure.

Cordialement

Une trajectoire circulaire plane

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 14:28

Les coordonnées polaires sont r=R et . La connaissance de r et de à chaque instant permet de caractériser simplement le mouvement. Puisque le mouvement est circulaire de centre A, r=constante = R. Pour caractériser complètement le mouvement, il faut en plus l'expression de =f(t) ; tu peux l'obtenir à partir de l'expression de la vitesse angulaire en tenant compte des conditions initiales.
Il aurait été intéressant de représenter sur la figure les vecteurs unitaires \vec{e_r} et \vec{e_\theta}.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:31

Je peux rajouter les vecteurs si besoin. J'ai compris comment ça fonctionne.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:37

Voici

Une trajectoire circulaire plane

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:41

er = cos + sin
e = -sin + cos

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:42

Ah j'ai oublié des trucs...
er = cos.ex + sin.ey
e = -sin.ex + cos.ey

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:42

*e à la place de e

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:47

OK.
Pour la question 3 : tu as intérêt à raisonner d'abord en coordonnées polaires dans R', ce qui revient à trouver l'expression =f(t) à partir de la vitesse angulaire et des conditions initiales. Facile ensuite de revenir aux coordonnées cartésiennes dans R compte tenu des relations que tu viens d'écrire.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 17:50

Mais je vois pas comment trouver = f(t). Est ce que c'est égal à ω(t) ?

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 18:01

Ou alors c'est égal à la primitive de ω(t) ?

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 18:10

Citation :
Ou alors c'est égal à la primitive de ω(t) ?

Oui. Comme une primitive est toujours définie à une constante près, tu trouves la constante à partir de l'état initial.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 18:18

Je ne suis pas sûr d'avoir compris (j'ai peur d'avoir trouvé par hasard, je déteste ça..). C'est parce qu'on cherche à obtenir les positions ? Et ce qu'on c'est une vitesse ? C'est donc ça le lien ? Et cette primitive que je vais trouver ce sera pour x ? y ?

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 19:35

Selon l'énoncé :

\omega=\omega_{o}\cdot\sin\left(\alpha.t\right)

Quelle est l'expression de \theta=f(t) ? Tu as étudié en math les primitives des fonctions trigonométriques...

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 21:28

Une primitive :

\large -\frac{wo}{\alpha }cos\alpha t

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 18-09-20 à 21:56

À une constante près comme toute primitive.
L'énoncé précise  :
=0 Si t=0.
Cela permet d'obtenir la constante.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 19-09-20 à 09:07

Si t = 0, = 0. or cos(0) = 1. Donc :

\large -\frac{\omega 0}{\alpha }cos0 = -\frac{\omega 0}{\alpha }
Du coup pour que = 0 à t = 0 il faut une constante =  \large \frac{\omega 0}{\alpha }

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 19-09-20 à 09:18

Le lien avec un repère cartésien c'est :

x = Rocos
y = Rosin

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 19-09-20 à 12:01

OK pour l'expression de =f(t) ;
OK pour les coordonnées cartésiennes dans R' ;
restent les coordonnées cartésiennes dans R.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 08:29

Heu bah ça j'ai un doute...
x(t) = Rocos + xA
y(t) = Rosin + ya

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 10:43

Oui, tout simplement  !

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 10:48

Bon et bien je passe à la vitesse !

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 10:48

Du coup pour la vitesse dans R et R' je vais obtenir la même chose ?

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 11:50

Pour la 5)
En coordonnées polaires j'ai trouvé

v(t) = Roω(t)e
Sa norme = Ro\mid \omega \mid

Dans R et R'
v(t) = \sqrt{(-Ro\omega osin(\alpha t)sin\theta +Ro\omega osin(\alpha t)cos\theta )^{2}}
= Ro\mid w(t)\mid

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 12:15

Citation :
Du coup pour la vitesse dans R et R' je vais obtenir la même chose ?

Oui car R' est immobile par rapport à R.
Vitesse dans la base polaire : OK
Dans R et R', je pense qu'il faut expliciter les coordonnées du vecteur vitesse dans la base (\vec{e_x},\vec{e_y}).

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 13:07

Et pour la 6 je vois pas comment trouver en quel point et en quel instant l'accélération est la plus importante car je n'ai pas les valeurs de Ro, et o

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 20-09-20 à 14:19

Pour 6 : le résultat est simple s'il s'agit de l'accélération angulaire \frac{d\omega}{dt}
Pour l'accélération, on ne peut répondre sans avoir de relation entre Ro, et o comme tu l'as écrit.
On peut répondre en revanche pour l'accélération tangentielle seule puis pour l'accélération normale seule.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 21-09-20 à 11:05

Pour la 6 on ne dérive pas la vitesse dans la base polaire, R et R' ?

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 21-09-20 à 11:07

Mais pour l'accélération tangentielle et normale il faudrait qu'on soit dans une base de Frenet...

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 21-09-20 à 12:53

Dans le cas particulier d'un mouvement circulaire, la base de Frenet se confond avec la base polaire (\vec{e_r},\vec{e_\theta})
Dans la mesure où l'énoncé ne demande pas de déterminer les composantes du vecteur accélération, il est possible (probable même mais pas certain...) que la question 6 concerne uniquement l'accélération tangentielle comme suggéré dans mon message du 20-09-20 à 14:19.

Posté par
IamMe
re : Une trajectoire circulaire plane 21-09-20 à 18:44

Je la trouve étrange cette question...

Posté par
vanoise
re : Une trajectoire circulaire plane 21-09-20 à 19:02

Citation :
Je la trouve étrange cette question...

moi aussi... Elle devient simple et logique si on remplace accélération par accélération angulaire... Peut-être un oubli de la part du concepteur de l'énoncé ?



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