Niveau école ingénieur

une question concernant la chute libre

Posté par
anaszi 15-07-17 à 14:36

Bonjour à tous,

Un point matériel M de masse m est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur h. On suppose que les frottements sont négligeables. Le champ de pesanteur se met sous Ia forme suivante:

$g(z)=g_0\times\frac{R²}{(R+z)²}$

R : rayon de Ia terre et z I'altitude du point M. La durée suffisante pour que M arrive au
sol est :

1) $(1+\frac{z}{R})\times\sqrt{\frac{2h}{g_0}$
2) $\sqrt{\frac{2h}{g_0}$
3) $\int_0^{h} \frac{1+\frac{z}{R}}{\sqrt{2g_0(h-z)}} dz$
4) $\int_0^{h} \frac{1}{\sqrt{2g_0(h-z)}} dz$

merci

Posté par re : une question concernant la chute libre 16-07-17 à 09:18

Bonjour
Cet exercice est évidemment très formel et sans le moindre réalisme physique : tenir compte des variations de g avec l'altitude suppose h non négligeable devant R et dans ces conditions, négliger la résistance de l'air est impossible. De plus, en absence de précision à ce sujet, je suppose que le référentiel d'étude est la terre ; pour une hauteur de chute élevée, la déviation vers l'est obtenue (sauf aux pôles géographiques) impacte la durée de chute.
Il n'est cependant pas inintéressant de réfléchir à ce problème théorique. La réponse 1 n'a pas de sens, au moins s'il s'agit bien d'un terme en z/R et non d'un terme en h/R. La réponse 2) est le cas simple où g(z)g_o
Pour choisir entre les deux dernière réponses, il ne s'agit pas nécessairement de faire une démonstration rigoureuse. On peut juste montrer que seulement une des deux est cohérente avec le cas simple 2...
Je te laisse réfléchir et proposer une solution...

Posté par re : une question concernant la chute libre 22-07-17 à 11:27

Puisqu'il s'agit d'un QCM, il faut réfléchir aux différentes propositions par difficultés croissantes. Puisque 1) et 2) sont éliminés, on passe à 4) : deux méthodes possibles :
* si tu est rapide en calcul intégral : la durée de la chute est selon cette proposition :

$T=T=\int_{0}^{h}\frac{1}{\sqrt{2g_{0}(h-z)}}dz=\left[-\sqrt{\frac{2\left(h-z\right)}{g_{0}}}\right]_{0}^{h}=\sqrt{\frac{2h}{g_{0}}}$
Tu retrouves le cas 2 correspondant à g(z)=g_o
* sinon, tu peux remarquer qu'avant d'intégrer, la proposition 4 correspond à :

$dt=\frac{1}{\sqrt{2g_{0}(h-z)}}dz\quad soit\quad\frac{dz}{dt}=\sqrt{2g_{0}(h-z)}\quad soit\quad v^{2}=2g_{0}(h-z)$
Exactement ce que donnerait l'application du théorème de l'énergie cinétique appliquée à une masse m entre l'altitude h et l'altitude z<h, pour une vitesse initiale nulle en supposant le poids constant et égal à m.g_o ! On retombe donc bien sur le cas 2)
Puisqu'il s'agit d'un QCM , tu peux éliminer cette proposition 4) ; tu peux donc arrêter là ta réflexion et répondre 3)
A titre d'approfondissement, à mon avis un peu difficile pour quelqu'un sortant de terminale, voici le raisonnement conduisant à la réponse qui se révèle être d'ailleurs un peu différente de 3...
Imagine une variation d'altitude dz, le travail élémentaire du poids s'écrit :

$\delta W=-m.g(z).dz=-m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+z\right)^{2}}\cdot dz$
Attention au signe (-) : une augmentation d'altitude (dz>0) correspond à un travail négatif et inversement, une diminution d'altitude (dz<0) correspond à un travail positif. Cette force est conservative ; ce travail élémentaire correspond à la diminution élémentaire de l'énergie potentielle de pesanteur :

$\delta W=-dE_{p}\quad soit\quad dE_{p}=m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+z\right)^{2}}\cdot dz \\ \\ \\ \\ \frac{dE_{p}}{dz}=m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+z\right)^{2}}$
Par intégration :

$E_{p}=-m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+z\right)}+constante$
On choisit la constante de sorte que Ep=0 infiniment loin de la terre, ce qui donne une constante nulle. En écrivant ensuite que l'énergie mécanique Em=Ec+Ep est la même à l'instant initial et à un instant de date t où l'altitude est z quelconque (z<h), on obtient :

$-m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+h\right)}=-m\cdot\frac{g_{0}.R^{2}}{\left(R+z\right)}+\frac{1}{2}m.v^{2} \\ \\ \\ \\ \frac{1}{2}m.v^{2}=m.g_{0}.R^{2}\cdot\left(\frac{1}{R+z}-\frac{1}{R+h}\right)=m.g_{0}\cdot\frac{R^{2}}{R+h}\cdot\frac{h-z}{R+z}=m.\frac{g_{0}}{1+\frac{h}{R}}\cdot\frac{h-z}{1+\frac{z}{R}} \\ \\ \\ \\ v=-\frac{dz}{dt}=\sqrt{\frac{2.g_{0}}{1+\frac{h}{R}}\cdot\frac{h-z}{1+\frac{z}{R}}}$
Attention là aussi au signe (-) si v désigne la norme de la vitesse (v>0), l'altitude décroît donc dz/dt<0. On sépare les variables et on intègre entre l'instant initial de date zéro et d'altitude h et l'arrivée au sol de date T et d'altitude z=0.

$dt=-\sqrt{\frac{1+\frac{h}{R}}{2.g_{0}}\cdot\frac{1+\frac{z}{R}}{h-z}}\cdot dz \\ \\ \\ \\ T=-\intop_{h}^{0}\sqrt{\frac{1+\frac{h}{R}}{2.g_{0}}\cdot\frac{1+\frac{z}{R}}{h-z}}\cdot dz \\ \\ \\ \\ \boxed{T=\intop_{0}^{h}\sqrt{\frac{1+\frac{h}{R}}{2.g_{0}}\cdot\frac{1+\frac{z}{R}}{h-z}}\cdot dz}$
On peut remarquer qu'en posant z<<R et h<<R, on obtient (heureusement !) l'intégrale du cas 4).
Il y a manifestement une erreur dans l'énoncé mais a priori sans conséquence puisqu'il s'agit d'un QCM ...