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un petit devoir sur les équations différentielles

Posté par
Basmita 27-09-09 à 15:04

Bonjour,
bon voilà j'ai un tout petit exercice c'est de résoudre l'équation différentielle suivante
d^2Uc/dt^2+R/LdUc/dt+1/LCUc=0
bon j'ai procédé comme suit:
y=yp+yg
yp=0
on a équation caractéristique
r^2+R/Lr+1/LC=0
j'ai calculé deltaR^2C-4L)/L^2C
j'ai étudié les cas de delta
-pour delta plus grand que 0n a deux solutions:
r1=(-R/L+la racine carrée de delta)/2L
r2=(-R/L-la racine carrée de delta)/2L
-pour delta =o
r1=r2=-R/2L
mais pour le cas où delta est inférieur à 0,j'ai trouvé quelques difficultés
s'il vous plaît dites moi si ce que j'ai avancé est juste et comment procéder pour le delta inférieur à 0
merci d'avance j'ai vraiment besoin de vos réponses le plus vite possible^^

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 15:23

Salut

Ce n'est pas si difficile.

Soit l'équation différentielle d'un circuit RLC en série.
Par la loi des mailles on trouve :

\red{LC\frac{d^2Uc}{dt^2}+RC\frac{dUc}{dt}+Uc=0}

Je te conseille de la laisser sous cette forme (j'ai multiplié par LC) car cela t'évite de te trimbaler avec des fractions.

L'équation caractéristique est LCr^2+RCr +1=0

Le discriminant de cette équation est

\Delta = R^2C^2 - 4LC

1er cas : si \Delta > 0

Les racines de l'équation sont

x_{1,2}=\frac{-RC+/-\sqrt{\Delta}}{2LC}

alors Uc(t) = A.exp(r1.t) + B.exp(r2.t)

2ème cas : si \Delta = 0

Il y a une racine double x = -\frac{RC}{2LC}

alors Uc(t) = (At + B).exp(r.t)

3ème cas : si \Delta < 0

l'équation admet deux racines complexes conjuguées :

x_{1,2}=\frac{-RC+/-j\sqrt{-\Delta}}{2LC}

j qui désigne le nombre complexe en physique (i en maths).

alors Uc(t) = e^{-\frac{RC.t}{2LC}}[A.cos(\frac{\sqrt{\Delta}}{2LC}.t)+B.sin(\frac{\sqrt{\Delta}}{2LC}.t)]

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 19:24

merci beaucoup gbm
je te suis très reconnaissante
je voudrais savoir pour la dernière solution de Uc(t)
est la racine carrée de delta ou moins delta?
merci encore

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 19:30

J'ai mis + ou - delta car j'ai voulu gagner du temps

x1 = -b + Vdelta / 2a et x2 = -b - Vdelta / 2a

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:13

je sais,je parlais de la dernière expression de Uc(t)
désolée encore pour le dérangement

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:13

encore une fois c'est pareil en rajoutant un j

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:15

dsl mais j'ai pas compris

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:16

x1 = -b + jVdelta / 2a et x2 = -b - jVdelta / 2a

tu as fait ça en maths en terminale

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:17

Ah je viens de comprendre ton problème.

J'ai oublié les signes -

En gros je l'ai fait pour x1,2 mais je l'ai zappé par la suite.

Mille excuces.

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:18

x1 = -b + jV-delta / 2a et x2 = -b - jV-delta / 2a

Il faut juste rajouter un - devant les Delta (cos et sin).

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:20

ça j'avais compris merci encore une fois
mais je parlais de delta de cette expression
Uc(t)=exp(-RCt/2LC)[Acos(Vdelta)/2LC)...

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:21

C'est l'expression donnée par le cours de maths

X = exp(Re(x1,2)t)[Acos(Im(x1,2) + Bsin(Im(x1,2))

avec Re pour partie réelle et Im pour partie imaginaire de x1,2

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:22

c'est pas grave du tout
alors l'expression devient
Uc(t)=exp(-RCt/2LC)[Acos-(Vdelta)/2LC)...?

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 27-09-09 à 22:24

elle ne change pas il y a juste un - à rajouter devant Delta (\sqrt{-\Delta} pour cos et sin)

Posté par
Basmitare : un petit devoir sur les équations différentielles 28-09-09 à 08:14

merci gbm
à la prochaine

Posté par
gbm Webmasterre : un petit devoir sur les équations différentielles 28-09-09 à 13:29

Je t'en prie

A la prochaine.


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