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un métal nous parait froid
Bonjour, j'ai un soucis pour faire cet exercice:
On désire expliquer la sensation de froid éprouvée au contact d'un métal bon conducteur. Supposons le contact entre la peau de l'extrémité d'un doigt dont on prendra la conductivité thermique proche de celle de l'eau λ=0.65Wm^-1 et un barreau de cuivre de conductivité λ= 400 Mm^-1. Au départ le morceau de cuivre est à la température ambiante que l'on prendra égale à 20 degré celsius et le corps humain à 37 degré celsius, températures que garderont les extrémités qui ne sont pas en contact. On désignera par To la température de contact une fois le régime stationnaire atteint. On ne considère que les échanges thermiques dans la direction perpendiculaire à la surface de contact que l'on désignera par Ox.
1-loi de Fourier s'écrit à une dimension J(x)= -λ*(∂T/∂x) où J(x) est le flux surfacique dans la direction Ox et λ la conductivité du milieu. On désigne Φ la quantité J(x)S, que représente Φ?
2- retrouver l'équation ∂T/∂t= (λ/µc)*(∂²T/∂x²), dîtes équation de la chaleur, où c est la capacité thermique du milieu supposé homogène et sans source de chaleur, et µ sa masse volumique. Exprimer, en régime stationnaire, le gradient de température dans chaque milieu.
3- Le contact qui nous intéresse est traité en régime stationnaire. Relier Φ à T1-T0, puis à T2-T0 et enfin T1-T2. Exprimer et calculer numériquement T0.
4- Que pouvez vous dire sur la sensation de froid au contact du cuivre?
Pour la question 1, il me semble que Φ est le flux thermique par la surface.
Pour la question2, j'ai fais:
ρCp∂/∂t(T(x))= - ∂/∂xJ(x)
puis ρCp∂/∂tT= ∂/∂x (λ∂T/∂x) + r
pas de source de chaleur, r=0 donc: ρCp∂/∂tT= ∂/∂x (λ∂T/∂x)
∂/∂tT= k∂²/∂x²T(x) avec k=λ /ρ Cp
Merci
salut
pour la 2), je ne vois pas pourquoi le terme r arrive dans la 2e ligne. Il devrait être plutot dans la premiere ligne, tu dis qu'il est nul et tu arrives ensuite à la 2e ligne sans le r.
on te demande ensuite d'exprimer dT(x)/dx en régime stationnaire, donc avec la dérivée temporelle nulle
Je voulais savoir si pour la question 1,si le flux thermique par la surfae est aussi la puissance qui traverse la surface.
Et est-ce que pour la question 2), c'est
∂T/∂t= (λ/ρCp)∂²/∂x²T(x) avec ∂T/∂t=0
donc ρCp/λ =(∂²/∂x²)T(x)==> (ρCp/λ)x + C1=∂T/∂x==> T(x)=(ρCp/2λ)x²+C1x+C2
avec C1 et C2 deux constantes
à T(x=0)=To=C2 et (dT/dx)*(λ/ρCp)=J(x=0)=Jo ==> (λ/ρCp)*C1=Jo
Donc, T(x)= (ρCp/2λ)x²+(Jo*ρCp/λ)x +To
Pour la question3):
relier T1=(ρCp/2λ)+(Jo*ρCp/λ)+To
T1-To=(ρCp/2λ)+(Jo*ρCp/λ)
T1-To=(ρCp/2λ)(1+Jo*λ)
pour T2-To:
T2=4*(ρCp/2λ)+2(Jo*ρCp/λ)+To
T2-To=4*(ρCp/2λ)+2(Jo*ρCp/λ)
T2-To=4*(ρCp/2λ)(1+(Joλ4/4))
Pour T1-T2:
T2-To=(T1-To)+(T2-T1)
T2-T1=(T2-To)+(T1-To)
T1-T2=(To-T2)+(To-T1)
Pour la question3):
relier T1=(ρCp/2λ1)+(Jo*ρCp/λ1)+To
T1-To=(ρCp/2λ1)+(Jo*ρCp/λ1)
T1-To=(ρCp/2λ1)(1+Jo*λ1)
pour T2-To:
T2=4*(ρCp/2λ2)+2(Jo*ρCp/λ2)+To
T2-To=4*(ρCp/2λ2)+2(Jo*ρCp/λ2)
T2-To=4*(ρCp/2λ2)(1+(Jo*(λ2)4/4))
mais je ne sais pas comment ressortir Φ dans ce expressions
∂T/∂t= (λ/ρCp)∂²/∂x²T(x) avec ∂T/∂t=0
donc ρCp/λ =(∂²/∂x²)T(x)==>
non ça colle pas là. Tu as ∂T/∂t=0 donc (∂²/∂x²)T(x)=0
x + C1=∂T/∂x
T(x)= x²+C1x+C2
à T(x=0)=To=C2 et (dT/dx)=J(x=0)=Jo ==> C1=Jo
Donc, T(x)= x²+Jox +To
est-ce que c'est ça?
bah tu as juste à intégrer
ça fait dT/dx = constante dans chaque milieu, avec une continuité à la paroi
Donc quand on part de cette équation,(∂²/∂x²)T(x)=0
on dit juste dT/dx =cte ?
Ce qui me bloque c'est que je ne sais pas quelle est l'expression de T(x)
si j'intègre (∂²/∂x²)T(x) une fois, je suis d'accord ça fait dT/dx =cte puis une deuxième fois et on aura T(x)= kx par exemple
du coup pour la qustion 3) on a les trois mêmes équations pour Pour la question3):
T1=k1x+k1'
T2=k2x+k2'
T0=k0x+k0'
T1-T0= (k1-k0)x + (k1'-k0')
T2-T0= (k2-k0)x + (k2'-k0')
T1-T2= (k1-k2)x + (k1'-k2')
mais il faut trouver Φ dans ces k et k'
Φ = J(x).S = -
.S.dT/dx = -.S.constante
donc Φ = -1.S.(T1-T0)/L
et Φ = -2.S.(T0-T2)/L
d'où -1.S.(T1-T0)/L = -2.S.(T0-T2)/L
ça te mène à T0 = (1.T1 +2.T2)/(1+2)
Merci pour vos explications !
J'ai calculé To et je trouve 20°C, donc pour la question 4 on en déduit que la sensation de froid au contact du cuivre c'est que le morceau de métal nous prend de la chaleur, il conduit mieux la chaleur.
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