sympatique mais... avec ou sans action de pesanteur ?

On suppose que les charges se repoussent et que ce sont les seules forces en action.
Deux charges vont s'équilibrer aux extrémités d'un diamètre de la sphère.
Pour trois charges on aura les trois sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans un grand cercle.
Pour 4, 6, 8, 12 et 20 charges, elles vont se positionner aux sommets du polyèdre régulier correspondant, inscrit dans la sphère: tétraèdre, octaèdre, cube, icosaèdre et dodécaèdre.
Pour les autres valeurs de n, à commencer par 5, j'aurais tendance à dire qu'il n'existe pas de position d'équilibre stable, et que l'ensemble est oscillant...

En l'absence de frotement l'equilibre n'apparaitra que si on place les chages dans cette position initialement (conservation de l'energie mecanique)

il faut donc raisoner avec des frotement, et chercher le minima (ou un minima local) de l'energie potentielle , qui sera neccesairement la position d'equilibre qu'on observera apres un certain temps.

la cas d'oscilation que tu propose est donc completement impossible.



sinon ba j'essairai bien mais je manque de temps pour me lancer la dedans en ce moment...


(NB avec le poids sa devien vraiment marrant ^^)

Je ne suis pas convaincu qu'il existe une position d'équilibre à 5 particules par exemple, mais ne demande qu'à l'être...
La résultante des forces de répulsion exercées par les 4 autres particules sur la 5ème ne me semble pas pouvoit être radiale pour chaque particule, sauf si elles sont dans un même plan, mais l'équilibre est alors instable...
Avis aux amateurs!

Alors... comme je savait pas quoi faire je me suis dit que je pouvait traiter sa comme sujet de Tipe donc j'ai chercher un peu plus en profondeur...


n'ayant aucune idee sur ce que pouvait donner une figure regulière a 5,7,9,10,11 ou 118 sommet, j'ai commencé par faire une simultation "dynamique" (cad : une espece de methode d'euler generaliser pour un un systeme de n equation differentielle vectorielle : a chaque "instant" de duré dt on calcule les forces electrique et frotement fluides exercé, on en deduit l'accelartion, puis la vitesse V=V+A*dt et les nouvels position P=P+V*dt...)


quelque remarque :
-ne pas oublier les forces de frotement... sinon sa s'arrete jammais...
-faut surtous pas faire sa dans une base en coordoné spherique... le comportement des charges au voisinage des pole de la sphere est trop "chaotique" (la methode d'euler s'apllique tres mal, et accesoirements, les calcule de changement de base sont monstrueux...)
-et meme en coordoné cartesienne il faut tres bien choisir les paramètre phisique et la valeur de dt, sinon il y a des comportement tres etrange qui apparaisse (par exemple une vitesse qui atteint des 10^45 eet qui continu d'augmenter)...




Bon alors quelque resultat (sans demonstration pour le moment, evidement ^^ ):

sans surprise on obtiens :
-avec 2 bille on arrive a 2 bille diametrallement opposé (sans blague...)
-avec 3 bille on arrive a un triangle equilateral sur un des perimetres de la sphere
-avec 4 bille un tetradre
-avec 6 bille un octaedre
-avec 8 bille un cube
-avec 12 bille un dodecaedre (a verifier j'ai pas fait suffisement d'iteration pour avoir des valeur tres precise... mais vraisemblablement les coordoné des pts faisait bien pensé a sa)
-avec 20 bille pas encore essayé mais sa serait un drame de pas tomber sur un icosaèdre...



et donc la ou sa devient interessant :

avec 5 bille on arrive a 2 bille diametralement opposé et 3 bille en triangle equilateral sur "l'equateur" (on verifie aisement qu'il s'agit bien d'une position d'equilibre...)

cependant c'est une figure qui n'est pas exactement regulière ! (toute les bille ne joue pas exactement un role symetrique...)

je me suis donc possé la question de l'unicité de cette position d'equilibre et j'ai demandé a mon PC de refaire le calcule avec des position initiale aleatoir 25 fois... (il est entrain de faire le calcule)


Nb : je vais m'arreter la pour ce soir parceque j'ai du boulot, mais d'ici quelque jour je pourrai probablement donner des images des positions d'equilibre pour n entre 2 et 20 si sa interesse des gens ici...



Nb2 : les 4 premier essai du calcule de la position d'equilibre n=5 ont donné le meme resultat...

au fait...


quelque s'aurait-il ou je pourrai trouver une liste exhaustive des polyedres formé avec 2 type de polygone different (je sais pas si ce que je vien de dire est claire la ?)... j'aimerai voir si ces figures sont des figures d'equilibre possible...

bon fallait evidement lire "icosaèdre" pour 12 bille hein...


bon par contre pour 20 sa fait pas un dodecaèdre (en tous cas pas sur le seul essai que j'ai fait... ) mais une espèce de structure composé de triangle pas tous a fait equilateraux que je saurais pas trop capable de d'ecrire et dont une image non animé ne rend pas vraiment compte...

mais bon sa n'empeche pas que le dodecaèdre est une figure d'equilibre stable il doit donc etre possible de l'observer ...

juste une tite remarque en passant...

j'aurais tendance à dire que ca se rapproche fortement de la représentation de Cram des molécules en chimie (ou on a d'ailleurs la même configuration pour 5 atomes autour d'un atome central)... ce qui parait logique d'ailleurs puisqu'il s'agit de répulsions électrostatiques ! il est donc surement possible de trouver plein de doc sur le sujet je crois