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Trou noir
Bonjour,
j'ai un Dm de physique ( je suis en 1ère année de physique) portant sur les trous noirs à faire et certaines questions me posent problèmes je vous suis redevable d'avance pour toute aide que vous pourriez m'apporter.
(tout le DM doit se résoudre de manière classique et non relativiste)
Les trous noirs de Schwarzschild :
je connais la vitesse de libération : v=(2Gm/r)^1/2, Ep = -GMm/r.
G=6.67*10^-11m^3/kg/s².
1) on appelle Rs = 2GM/c². Par définition, un trou noir est un corps dont le rayon est inférieur au rayon de Schwarzschild : R<Rs. que doit vérifier la masse volumique d'un corps céleste sphérique homogène pour être un trou noir?
2) la sphère de rayon Rs autour du trou noir est appelée horizon des événements.
que peut-on dire des corps matériels qui pénètrent l'horizon des événements d'un trou noir? ( étudier la vitesse de libération autour d'un trou noir)
3) calculer la masse du trou noir sachant que son horizon des événements est égale à 1m50
4) on considère un trou noir stellaire qui dispose d'un réservoir de matière galactique qu'il peut attirer à lui affin de grossir. on note p la masse par unité de temps avalée ainsi par le trou noir ( p = cst).
quelle est alors l'équation différentielle satisfaite par M(t) en tenant compte de l'évaporation de Hawking et de l'absorption de matière)
évaporation : dM/dt = -a/M² a=1.4*10^13kg^3/s = cst
5) Sans intégrer l'équation précédente montrez qu'il existe une masse critique Mc telle que si M<Mc alors le trou noir ne peut que s'évaporer au cours du temps même avec l'apport constant de matière galactique.
les trous noirs de Reissmer-Nordstrøm :
Ep = -GMm/r + GQ²m/(3E0c²r²)
Q = charge électrique non nulle.
E0 = permittivité du vide
6) Quelle est l"expression de F la force gravitationnelle?
7) Montrer que pour une charge électrique 0<Q<Q* le trou noir présente deux horizons des événements ( on déterminera l'expression de Q*)
Les trous noirs de Kerr :
Ep = -GMmr/(r²+a²cos²θ)
avec a=Iw/Mc ( I est le moment d'inertie du trou noir) (r,θ,φ) est un système de coordonnées sphériques centrées sur le trou noir. d'axe ez avec φ l'angle de longitude et θ l'ange de colatitude.
8) Montrer que pour une vitesse de rotation 0<w<w* le trou noir présente 2 horizons dont les rayons dépendent de θ ( on déterminera la valeur de w*)
Bonjour,
pour la 1) faut il utiliser :
Rs = 2GM/c² de plus la surface d'une sphère est égale a 4Pir² donc
S= 16PiG²M²/c^4
donc M=((c^4*S)*(16PiG²))^1/2
pour la 2)je ne voit pas ce qu'il nous demande.
la 3)je viens de la réussir.
4)je ne voit pas comment ajouter l'absorption de matière à l'équation différentielle.
5)Je ne vois pas quoi faire.
6)faut il utiliser le gradient?
7 et 8) aucune idée du calcul a effectuer?
pour la 1) faut il utiliser :
Rs = 2GM/c² de plus la surface d'une sphère est égale a 4Pir² donc
attention on te demande une condition sur la masse VOLUMIQUE
2) tu n'as jamais entendu parler des trous noirs, ces corps étranges qui ne laisse même pas échapper la lumière?
calcule la vitesse de libération en fonction de r et Rs et regarde ce qui se passe si r
4) pendant une durée dt on a:
dMévaporée = -a/M² dt
et par définition de p: dMabsorbée = p dt
donc dM = dMévaporée + dMabsorbée = ...
pourquoi tu passes par l'expression de la surface ?
M = 4/3.pi.R^3.
et tu en sors
2) tu as calculé la vitesse de libération à une distance Rs de la masse ?
si tu utilises les différentes expressions tu vas trouver : vlib = c
conséquence : même la lumière ne peut plus s'échapper
1)
M = (4/3).Pi.R³ * Rho
R < 2GM/c²
R < 2G*(4/3).Pi.R³ * Rho/c²
c² < G*(8/3).Pi.R² * Rho
Rho > 3c²/(8.Pi.G.R²)
avec 3c²/(8.Pi.G) = constante qu'on peut calculer.
---
Mais on peut donner aussi Rho en fonction de la masse M du trou noir :
M = (4/3).Pi.R³ * Rho
M < (4/3).Pi.(2GM/c²)³ * Rho
Rho > (3/4).M/(Pi*8G³M³/c^6)
Rho > (3/32).c^6/(Pi.G³.M²)
avec (3/32).c^6/(Pi.G³) = constante qu'on peut calculer.
Donc Rho doit être d'autant plus grand que la masse du trou noir est petite.
ou si on préfère : Rho doit être d'autant plus petite que la masse du trou noir est grande.
---
Condition sur Rho pour avoir un trou noir :
Rho > (3/32).c^6/(Pi.G³.M²)
ou bien
Rho > 3c²/(8.Pi.G.R²)
-----
Sauf distraction. 
Merci a vous 3 pour vos réponses donc 1,2,3,4) c'est fait =)
Pour la 5 en fonction de mon équation différentielle je trouverais bien.
et pour les 3 dernières :
6) dois- je utiliser le gradient pour la calculer car j'ai du le faire pour les trou noir de Kerr?
7) je vais essayer avec le théorème de l'énergie cinétique pour voir ce que sa donne.
8) faut-il se servir du moment cinétique ou autre...
5) dM/dt = (p- a/M2)
donc si (p- a/M2) < 0 dM/dt < 0, le trou noir se dissipe (reste à savoir au bout de combien de temps 
6) F = - Grad Ep
ici Ep = Ep(r) donc F = -dEp/dr ur
7) il faut chercher r pour le(s)quel(s) la vitesse de libération vaut c
ou encore en notant (r) = Ep/m
Em = m ( (r) + v2/2 )
la vitesse de libération doit vérifier: Em =0
donc ( (r) + v2/2 ) =0
donc si v = c on doit avoir: ( (r) + c2/2 ) = 0
en multipliant par r2 on trouve une équation du second degré en r et si on veut deux solutions distinctes il faut que le discriminant soit ...
d'où une condition sur Q
sauf erreur
Je vous remercie encore une fois sans vous je ne sais pas comment j'aurai réussi à finir ce DM.
Et bien sur je vais continuer d'abuser de votre gentillesse :
après la question sur le calcul de la masse du trou noir (M=1.0119 *10^18kg)
j'ai du calculer la force gravitationnel exercé par le trou noir sur la main et l'épaule d'un homme se situant à 3m du trou noir ( Mbras = 0.4kg,Dtn-main =3m, Dtn-épaule = 4m)
je trouve en utilisant la formule F=G*Mtn*Mbras/dTn-main 3 000 000 N
et pour l'épaule F= 1 687 500N
après on nous demande : quelle est sur terre la masse tenue a bout de bras équivalente a la contrainte gravitationnelle supporté par le bras tendu de l'homme devant le trou noir.
je dois juste faire (Fmain + Fépaule) /2 *10 = 23437500 kg donc que c'est impossible que l'homme soit si près du trou noir ?
je remarque aussi que j'ai fait une erreur dans mon calcul de de t* dans la question : donner l'expression de t* le temps nécessaire pour qu'un trou noir isolé de masse M0 à t=0 s'évapore complètement :
dM/dt = -a/m²
M²*dM = -a*dt
int de M²*dM = int de -a*dt
donc 1/3 M^3 =-at
d'ou t=1/3 * M^3 /-a
ce qui fait un temps négatif... on m'a dis de faire l'intégrale de M0 a 0 mais je retrouve le même résultat...
Et après pour la question sur le moment cinétique ( Montrer que pour une vitesse de rotation 0<w<w* le trou noir présente 2 horizons dont les rayons dépendent de θ ( on déterminera la valeur de w*) je sèche totalement...
encore désolé d'abuser de votre sollicitude ...
Etienne 90
donner l'expression de t* le temps nécessaire pour qu'un trou noir isolé de masse M0 à t=0 s'évapore complètement :
dm/dt = -a / m2
m2 dm = -a dt
[m3/3]0Mo = -a [t] 0t1 attention aux bornes: à t=0 m=Mo et à t = t1 m=0
donc -Mo3/3 = -a t1
8) je dirais que c'est le même raisonnement qu'en 7) mais Ep a une autre expression
Pour la question sur les charges électriques j'ai du précédemment calculer la vitesse de libération avec la correction relativiste j'obtiens :
vlib = (2GM/r - GQ²/E0c²r²) ^1/2
donc j'ai directement mon équation du 2nd degré
en élevant le tout au carré j'obtiens :
- GQ²/E0c²r² + 2GM/r - Vlib =0
j'utilise le discriminant (delta = b²-4ac ) or je ne sais pas si (GM/r)² et > à 4GQ²/E0c²r² * -vlib ( j'ai juste comme indication que Q est > 0 )
mais comme on cherche 2 solution mon discriminant doit être obligatoirement positif donc j'ai juste a dire x1 = et x2 = et j'ai mes 2 horizons ? ( est ce que je me trompe ?)
vlib = c
pour le 7) je trouve:
c2/2 r2 - GMr + GQ2/(3 
o c2) = 0
d'où Q2 <= 3o GM2/2
donc la condition porte plutot sur 0<|Q|
sauf erreur
Pourrais tu plus développé ton calcul s'il te plait ...
car moi j'ai comme vlib :
vlib = (2GM/r -GQ²/E0c²r² ) ^1/2
Justement par rapport à ce poste
Comment le m de Em = m (\Phi (r) + v2/2 ) à été simplifier?
Et quand on multiplie
v = c on doit avoir: (\Phi (r) + c2/2 ) = 0
on obtient r²(\Phi (r) + c2/2) =0
et donc on fais le discriminant et obtient directement nos 2 horizons?
on ne cherche pas les deux horizons, on demande une condition sur Q pour qu'il y en ait deux.
du moins c'est comme ça que je comprends l énoncé
d'autre part c'est la même chose que de dire Em = Ep + Ec = 0 et v2 = -2 Ep/m
en effet:
Ep + 1/2 m V2 = 0 <=> v2 = -2 Ep/m
mais bon, prenons ta formule:
v2 = -2 Ep/m
on veut v=c pour trouver le ou les horizons, d'où
c2 = -2Ep/m
et tu trouves une équation de degré 2 en r (en multipliant par r2 des deux côtés )
je ne vois pas bien ce qui te gêne.
pas grand chose =)
donc :
delta = b²-4ac = 4G²M²/r² -4( -GQ²/E0c²r²*-c) >0
x1,2 = (-2GM/r±√( 4G²M²/r² -4( -GQ²/E0c²r²*-c) )) / - 2GQ²/E0c²r²
c'est bien cela ?
mais non,
on trouve un trinôme en r donc r n'a pas à apparaître dans le discriminant!
reprenons:
on veut vlib=c pour trouver le ou les horizons, d'où: c2 = -2Ep/m
7) on a donc:
c2 = 2GM/r - 2GQ2/(3o c2r2)
ou encore:
c2 r2 - 2GM r + 2GQ2/(3o c2) = 0
ceci est un trinôme du 2nd degré en r (de la forme ar2 + br + c = 0) donnant deux solution distinctes r' er r" ssi 
> 0
tu écris la condition: > 0 et tu trouves une condition sur Q.
est-ce plus clair maintenant?
oui merci beaucoup désolé d'avoir été long à la détente ...
donc delta > 0 => 4G²M²/r² -4r²c²*GQ2/(Eo c2)>0 ( j'ai fait une erreur dans mon 1er poste c'était 2 E0 et non 3 donc simplification du 2)
il ne me reste plus qu'à isolé Q :
4G²M²/r² > 4r²c²*GQ2/(Eo*c2)
G²M²/r > r²GQ²/E0
GM²/r^3 > Q²
Q < (GM²E0/r^3)^1/2
mais non, il ne doit pas y avoir de r dans le discriminant !!!
quand tu résouds ax2 + bx + c= 0
que vaut le discriminant?
ici c'est
c2 r2 - 2GM r + GQ2/(Eo c2) = 0
et c'est r la variable en non pas x;
donc = ...
oui désolé franchement les vacances me réussissent pas ...
delta > 0 => 4G²M²-4c²*GQ2/(Eo c2)>0
4G²M² > 4c²*GQ2/(Eo*c2)
G²M²>GQ²/E0
GM²E0>Q²
Q < (GM²E0)^1/2
et voila ?
exacte et je dois faire après x1 ou x2 ou pas la peine sachant qu'il nous demande juste l'expression de Q*?
je dois appliquer le même raisonnement pour la dernière question je suppose encore merci de toute l'aide que vous m'ayez apporter.
Etienne90
tu as mal recopié Ep pour le trou noir de Reissner
c'est: Ep = -GMm/r + GQ²m/(2c²r²)
donc on trouve: Q2 < GM2
cf. 
non il y a bien le E0 dans mon DM :
Ep = -GMm/r + GQ²m/(2c²r²*E0)
peut être que le prof la rajouté pour pas que certaint fasse du copier collé de wikipédia...
et donc pour la question sur les singularités nues : pourquoi Q>Q* n'appelle t'on plus un corps céleste un trou noir une singularité nue ( je rajoute des question au fur et a mesure =) ) ?
je dois dire que cela pourrait entrainer un discriminant égale à 0 voir négatif ce qui ne permettrai plus d'avoir 2 horizons des évènements ?
par contre j'ai des difficultés à calculer le gradient d'en la dernière parti ( on rappelle que le gradient en coordonnées sphériques est égale a : devf/dev r er +1/r devf *dev teta eteta +1/rsin teta devf/devphi e phi
Ep = -GMmr/(r²+a²cos²θ)
le calcul de la vitesse de libération sera simple et pour montrer avec la vitesse de rotation l'existence des 2 horizons dont les rayons dependent de teta je vais reprendre le raisonnement précédent.
Pour la TOUTE dernière question pourquoi peut ton penser qu'il existe une vitesse de maximale de rotation je parlerai de l'effet penrose.
pour calculer un gradient tu calcules d'abord les dérivées partielles
par ex. pour Ep= Ep(r,
)
Ep/ r
Ep/
Ep/
ici Ep/ = 0 car Ep ne dépend pas de
puis tu écris: Grad Ep = Ep/r er + 1/r Ep/ e + 0
sa je le savais =) c'est juste faire les calculs où j'ai du mal
on a bien une dérivée de la forme u/v ce qui fait :
u'v - v'u ou u = -GMmr et v= r²+a²cos²teta
= -r*(r²+a²cos²teta) - 2r(-GMmr)
et pour la dérivé partielle en teta dérivée de la forme 1/v =
-v/v² = -r²+a²cos²teta / (-r²+a²cos²teta)²
c'est sa ou je me plante totalement ='(
(u/v)' = (u'v - v'u )/v2
(1/v)' = -v'/v2
et pour dE/dO on dérive par rapport à O donc:
d/dO (r2+a2cos2 O) = -2a2 cosO sinO = -a2sin(2O)
sauf erruer
pour le gradient j'ai utiliser un logiciel sa a été plus simple ( je sature sur ce DM...)
par contre pour la question :
8) Montrer que pour une vitesse de rotation 0<w<w* le trou noir présente 2 horizons dont les rayons dépendent de θ ( on déterminera la valeur de w*)
j'ai essayé de faire le même raisonnement que pour la charge mais je me heurte à un problème :
vlib = (GMr/r²+a²cos²teta)^1/2
c²r²-vlib =0
d'où c²r²-(GMr/r²+a²cos²teta)^1/2 =0
on utilise le discriminant (b²-4ac ) mais c=0 donc delta =0 ce qui n'est pas possible car on cherche un delta supérieur à 0 pour avoir 2 horizons des évènement ....
où se situe mon erreur ...
Pour la question pourquoi peut 'on penser qu'il y a une vitesse maximale de rotation en parlant du moment d'inertie cela devrai suffire.
c²r²-vlib =0
non, on veut vlib=c pour trouver le ou les horizons, d'où: vlib2 = c2 = -2Ep/m
c²r²-(GMr/r²+a²cos²teta)^1/2 =0
non, et en plus ce n'est pas une equation du 2nd degré en r !
on part de c2 = -2Ep/m
et on cherche une équation du 2nd degré en r
c²+ 2Ep/m =0
or 2Ep/m = -2Gmr/(r²+a²cos²teta)
donc
c²-2Gmr/(r²+a²cos²teta) = 0
on multiplie par r² :
c²r² -2Gmr/(1+(a²cos²teta)/r) = 0
et après on fait le discriminant ?
d'où : delta = 0 ?
j'ai du mal à te suivre
c²r² -2Gmr/(1+(a²cos²teta)/ r 2 ) = 0
et après on fait le discriminant ?
le discriminant de quoi? ce n'est pas un trinôme du 2nd degré en r ! (le coefficient de r dépend de r !!!
le ou les horizons vérifient:
c2 = -2Ep/m
c2 = 2GMr/(r²+a²cos²O)
je passe (r²+a²cos²O) à gauche et le tour est joué
oui c'est vrai ...
donc ce qui nous fait :
c²(r²+a²cos²O) = 2Gmr
et ensuite on isole le O pour ensuite avoir la condition sur la vitesse angulaire en faisant la dérivé ? (w =do/dt )
et ensuite on isole le O pour ensuite avoir la condition sur la vitesse angulaire en faisant la dérivé ? (w =do/dt )
mais non, décidément tu as du mal à comprendre physiquement ce que tu fais
d
/dt n'pardon,
d/dt n'a rien à voir avec la vitesse de rotation du trou noir
relis l'énoncé tu verras apparaitre w
oui effectivement a = Iw/mc...
je crois avoir ENFIN compris :
c²(r²+a²cos²O) = 2Gmr
c²r² - 2GMr +c²Iw/Mc *cos²0 =0
et la on utilise le discriminant ...
Delta >0
B²-4ac > 0
4G²M²r² -4c²*c²Iw/Mc *cos0 > 0
4G²M²r² > c²*c²Iw/Mc *cos0
4G²M²r² * Mc / (c^4 *cos O * I ) > w
4G²M^3r²/(c^3 *cos O I ) > w
c'est cela ? ...
2 <= G2M4/(c2 I2 cos2 O)
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