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Traversée d'une rivière
Bonjour, besoin d'un coup de pouce svp
Un bateau traverse une rivière dans les conditions suivantes:
- cours d'eau rectiligne, de largeur d
- vitesse de l'eau p/r aux berges, uniforme et constant
- vitesse du bateau p/r à l'eau, de norme constante
Le pilote se dirige a chaque instant droit vers son but O, en face du point de départ A
On note =
+
forme un angle
avec la berge
Etablir l'équation différentiel reliant r et , le temps étant éliminé
Ecrire :
d
/dt = 
+ 
étant orienté suivant
ensuite projeter suivant x et y, ce qui donne :
(u + v sin)dt = d(r sin)
v cos dt = d(r cos)
On élimine dt en faisant le quotient des deux égalités, on développe, on simplifie, on sépare les variables,... j'arrive à :
dr/r = v/(u cos) + tand
Mais je l'ai fait vite et je ne me suis pas relu, donc ne prenez pas ma réponse pour argent comptant.
Je reprends le calcul... après relecture les équations de départ sont plutôt :
(u - v cos)dt = d(r cos)
(v sin)dt = d(r sin)
ce qui mène à :
dr/r = (v/(u sin) - 1/tan)d si u 
0
et d = 0 si u = 0
à moins d'autres erreurs...
et l'image manquante dans le post précédent est évidemment
C'est bien ce que j'ai écrit. Peu importe le sens de , puisqu'on considère sa norme.
Tu arrives au même résultat que moi ?
on nous demande ensuite d'intégrer pour trouver r(), sachant que une primitive de 1/sin est ln[tan()/2]
je trouve r()=[tan()/2/ sin
*cste
Est-ce que vous pourriez vérifier je suis pas du tout sur ?
à part quelques erreurs de notation c'est ça.
Aussi, on connait l'état initial, donc on peut intégrer entre deux bornes sans s'encombrer de constantes.
Je trouve :
r = d
[tan(/2)]v/u / sin
On remarque que le bateau ne peut arriver à bon port (r=0) que lorsque = 0 . C'est à dire que lorsque le bateau arrive en O, sa trajectoire est tangente à la berge.
Un développement limité au voisinage de 0 nous donne :
r 
d/2v/u v/u - 1
On distingue alors 3 cas :
u < v : le bateau touche la berge au point O avec une vitesse tangente à la berge
u = v : le bateau touche la berge à une distance d/2 de O avec une vitesse perpendiculaire à la berge
u > v : le bateau ne touche jamais la berge mais s'en rapproche asymptotiquement en s'éloignant de O
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