Niveau maths sup

Travail force non constante sur un cercle

Posté par
nachding 25-03-17 à 21:43

Bonjour,
Voici l'énoncé :
Un point matériel M se déplace sur un cercle depuis l'origine du repère A(0,0) jusqu'à son sommet B(1,1) On donne l'expression de la force qu'il subit : $\vec{F} = y^2x .\vec{ex} + x^2y.\vec{ey}$ . Donnez le travail de cette force lors de son déplacement.

J'ai un peu avancé et j'ai trouvé que : $W = \int_{A}^{B}{y^2x.dx}+ \int_{A}^{B}{x^2y.dy}$
Mais je suis bloqué là je vois pas comment avancer...
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par re : Travail force non constante sur un cercle 25-03-17 à 22:32

Bonsoir
Puisque les caractéristiques de la forces ne dépendent que des coordonnées de position et pas de la vitesse, la force est conservative : elle dérive d'une énergie potentielle. Tu peut donc exprimer l'énergie potentielle associée à cette force puis écrire que le travail est égal à l'opposé de la variation d'énergie potentielle :
W=-E_p=E_p(A)-E_p(B). Pour obtenir E_p à une constante près, tu peux écrire l'expression du travail élémentaire comme l'opposé de la différentielle de E_p :

$\delta W=y^{2}.x.dx+x^{2}.y.dy=-dE_{p}=-\frac{\partial E_{p}}{\partial x}.dx-\frac{\partial E_{p}}{\partial y}.dy$

Par identification :

$\begin{cases} \\ \frac{\partial E_{p}}{\partial x}=-y^{2}.x\\ \\ \frac{\partial E_{p}}{\partial y}=-x^{2}.y \\ \end{cases}$

Tu n'as plus qu'à intégrer pour obtenir l'énergie potentielle... Le travail dépend des positions des points A et B mais pas de la trajectoire suivie pour aller de A à B... Heureusement d'ailleurs car deux points ne suffisent pas à définir un cercle !
Remarque : on y arrive aussi en utilisant la notion de gradient de l'énergie potentielle mais je ne suis pas sûr que cela figure à ton programme...
Je te laisse réfléchir à cela et essayer de terminer seul.

Posté par re : Travail force non constante sur un cercle 25-03-17 à 22:37

Merci beaucoup pour ces explications je vais essayer.

Posté par re : Travail force non constante sur un cercle 26-03-17 à 15:38

Re-Bonjour,
Merci pour votre réponse cela m'a bien aidé et j'ai trouvé : $Ep = -\frac{1}{2}.x^2.y^2$ . Ensuite j'ai trouvé : $W = 0 -(-\frac{1}{2}) = 0.5 J$
Par contre je suis un peu bloqué dans la question suivante où :
$\vec{F} = y^2x .\vec{ex} - x^2y.\vec{ey}.$
J'arrive au système suivant : $\begin{cases} \\ \frac{\partial E_{p}}{\partial x}=-y^{2}.x\\ \\ \frac{\partial E_{p}}{\partial y}=x^{2}.y \\ \end{cases}$
Ce système semble incompatible car il ne semble pas y avoir de fonction Ep qui remplisse ces deux conditions à cause du signe "moins". Dois-je en conclure que la force n'est pas conservative cette fois ? Et si oui, je ne vois pas comment calculer son travail
Merci d'avance !

Posté par re : Travail force non constante sur un cercle 26-03-17 à 21:13

Citation :
Et si oui, je ne vois pas comment calculer son travail

Moi non plus pour une raison très simple : l'expression du travail élémentaire ainsi obtenue n'est tout simplement pas intégrable au sens mathématique du terme ! Ce qui n'est pas grave : une telle force non conservative qui dépend des variables de position sans dépendre de la vitesse : cela n'existe pas !
Si tu veux plus de renseignements : revoie ton cours de math sur les différentielles exactes et le théorème de Schwarz (à moins que tu ne sois pas encore arrivé à ce stade à cette période de l'année) :
pour que l'expression: $\delta W=F_{x}.dx+F_{y}.dy$ soit intégrable, elle doit être une différentielle exacte, c'est à dire une différentielle vérifiant :

$\frac{\partial F_{x}}{\partial y}=\frac{\partial F_{y}}{\partial x}$
Remarque : tu pourrais demander à ton professeur un exemple pratique de force qui aurait les propriétés décrites à cette dernière question. Je serais intéressé par sa réponse...

Posté par re : Travail force non constante sur un cercle 26-03-17 à 21:31

Merci encore pour votre réponse. Non en effet je n'ai pas encore vu les différentielles en mathématiques donc j'aurais pu chercher pendant encore longtemps !

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