Bonjour,

Le travail c'est un produt scalaire donc tu fais

et tu intègres de A à B ....

Bonjour,

Je me permet de préciser un peu.... , donc .

Au passage, l'énoncé est incomplet. Soit il faut vous donner le chemin pour aller de A à B, soit on doit vous faire démontrer que le champ de force est conservatif.

Ben pourtant l'énoncé est tel quel.
j'ai appris à intégrer l'an dernier, en math, mais je ne vois vraiment pas comment faire dans un repère (x,y,z), surtout qu'il y a plein de vecteur en physique et pas en math donc ca m'embrouille un peu. ><

AB.F= -3yz-6x-5xz-20y-xy+2z

Mais après je fais quoi avec ça. Comment je l'intègre?

merci

je te laisse poursuivre

oups!

je comprend la technique.
mais pourquoi lorsqu'on intègre -yz, ca donne -xyz?

quandon dérive -xyz-x² par rapport à x , alors on trouve -yz-2x.

Car y et z sont considérée comme des constantes.

Nb: dsl dans mon ancien post j'ai écris F.AB mais je me suis trompé c'était F.dAB qu'il fallait =)

Bonjour à tous les trois,

Vous semblez avoir oublié la remarque importante de l'énoncé : montrer d'abord que le champ de forces dérive d'une énergie potentielle E_p. Alors on va d'abord supposer que ceci est fait et on va exploiter cette propriété pour calculer le travail de ; on reviendra ensuite sur la détermination de E_p.

Travail de F de A vers B :

Dire que dérive d'une énergie potentielle veut dire que le travail de pour aller d'un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. D'ailleurs l'énoncé ne précise pas quel chemin on doit prendre pour aller de A vers B, donc on est libre de le choisir à sa guise. Dans le cas présent le plus simple n'est pas la ligne droite AB, car ce choix revient à  calculer la circulation du vecteur F de A vers B en faisant intervenir les équations de ce segment. Je vous propose donc de calculer le travail de F en le décomposant en trois étapes :

Etape 1 :
On prend le point A₁ d'abscisse x_B = 2, mais d'ordonnée y_A = -2 et de cote z_A = 1 : ainsi le segment AA₁ et parallèle à l'axe Ox puisque A et A₁ ont même ordonnée et même cote. Le travail de F de A vers A₁ ne fait donc intervenir que la projection F_x de F sur l'axe Ox. Puisqu'on fixe la valeur de y à -2 et celle de z à 1, cette projection s'écrit F_x = 2 - 2x.
Le travail de F de A vers A₁ est donc W₁ = (2 - 2x)dx de -1 a 2 et on obtient facilement W₁ = 3.

Etape 2 :
On prend le point A₂ d'abscisse x_B = 2 et de cote z_A = 1 (donc même abscisse et même cote que A₁), mais d'ordonnée x_B = 3. Ainsi le segment A₁A₂ est parallèle à l'axe Oy, et le travail de F de A₁ vers A₂ ne fait intervenir que la projection F_y de cette force. En fixant x = 2 et z = 1, cette projection s'écrit F_y = -2 - 4y. Le travail de F de A₁ vers A₂ est W₂ = - (2 + 4y).dy de -2 a 3, soit W₂ = -20.

Etape 3 :
On se déplace maintenant de A₂ vers B en suivant la verticale, donc pour x = x_B = 2, y = y_B = 3 et pour z variant de z_A = 1 à z_B = 2. La composante qui travaille est F_z = -6 + 2z et son travail de A₂ vers B est W₃ = (-6 + 2z).dz de 1 a 2 soit W₃ = -3.

Finalement le travail de la force F de A vers B, lorsqu'on suit le chemin A -> A1 -> A2 -> B, vaut W = W₁ + W₂ + W₃ = -20.

Recherche de l'énergie potentielle Ep :

Dire que F dérive d'une énergie potentielle E_p signifie par définition que le produit scalaire . vaut - dE_p. Dans cette relation est le vecteur déplacement élémentaire ( = dx + dy + dz).
Remarque : le signe - n'est pas obligatoire ; en mathématiques on écrit plus souvent . = + dE_p, en physique on préfère mettre le signe - pour avoir une expression de E_p positive (voir exemples avec le champ de pesanteur, la force de rappel d'un ressort, les forces en 1/r²…).
En cartésiennes la définition ci-dessus s'écrit F_x.dx + F_y.dy + F_z.dz = - E_p/x.dx - E_p/y.dy - E_p/z.dz, ou encore
F_x = - E_p/x  (1)   F_y = - E_p/y   (2)  F_z = - E_p/z   (3).
Or si E_p est une fonction continue des trois  variables x, y et z, et si de surcroît ses dérivées partielles sont elles aussi continues, on peut écrire /y(E_p/x) = /x(E_p/y), et deux autres relations analogues en faisant une permutation circulaire sur x, y et x. C'est le « théoreme de Schwartz » . Avec les relations 1, 2 et 3 on obtient alors
F_x/y = F_y/x (4)     F_x/z = F_z/x (5)    F_y/z = F_z/y (6)
Ces trois relations sont les conditions auxquelles les composantes F_x, F_y et F_z doivent obéir pour que la force F puisse dériver d'une énergie potentielle.
Remarque :
La définition précédente . = - dE_p revient à écrire = -(E_p). En prenant le rotationnel de on obtient un vecteur nul, puisque le rotationnel d'un gradient est nul. Or les composantes du rotationnel de sont (F_z/y - F_y/z sur Ox, F_x/y - F_z/x sur Oy, F_y/x - F_x/z sur Oz. Annuler le rotationnel de revient à retrouver les relations 4, 5 et 6.

On obtient facilement F_x/y = -z, F_x/z = -y, F_y/x = -z, F_y/z = -x, F_z/x = -y, F_z/y = -x. Le théorème de Schwartz est donc vérifié et on sait maintenant que l'énergie potentielle E_p existe.

Pour trouver E_p, on repart de la relation 1 et on en prend la primitive par rapport à x :
dE_p/dx = yz + 2x, soit E_p = xyz + x² + K₁(y,z)  (7).
Qui dit primitive dit constante arbitraire : la fonction K₁ ne depend donc pas de x, mais peut dépendre de y et de z. Pour trouver cette fonction, on dérive la relation 7 par rapport à y, et on compare le résultat obtenu avec la relation 2 :
E_p/y = xz + K₁/y = xz + 4y, dont on tire K₁/y = 4y et K₁ = 2y² + K₂(z) : la fonction K₂ est indépendante de y mais peut encore dépendre de z.
On arrive donc à E_p = xyz + x² + 2y² + K₂(z). Il reste à déterminer K2_{[/sub](z), et pour  cela on dérive E[sub]p} par rapport à z afin de comparer avec la relation 3 :
E_p/z = xy + K₂/z = xy - 2z, dont on tire K₂/z = -2z et K₂ = - z² + C.

En définitive, E_p = xyz + x² + 2y² - z² + C, C étant une constante numérique.

La définition de E_p, . = - dE_p, permet de calculer facilement le travail de la force F de A vers B : W = . de A vers B = -dE_p de A vers B, ce qui donne - [E_p(B) - E_p(A)], ou encore E_p(A) - E_p(B). On constate que le travail de F ne dépend pas du chemin suivi pour se rendre de A à B, mais uniquement de la différence des valeurs de l'énergie E_p entre les points de départ A et d'arrivée B. Cette propriété très importante justifie le choix que j'ai fait pour calculer directement W.

On calcule E_p(A) = E_p(x_A, y_A, z_A) = 2 + 1 + 8 - 1 + C = 10 + C, et E_p(B) = 12 + 4 + 18 - 4 + C = 30 + C, ce qui donne W = E_p(A) - E_p(B) = - 20.

Bien entendu, on retrouve la valeur de W déjà obtenue...

Si vous voulez vous entrainer à calculer le travail de F en suivant un autre chemin (la ligne droite AB par exemple), faites-le et si vous calez, n'hésitez pas à mettre un post.

Prbebo.

Merci prbebo, c'était ma remarque : " l'énoncé est incomplet. Soit il faut vous donner le chemin pour aller de A à B, soit on doit vous faire démontrer que le champ de force est conservatif.".

Bonjour Alban,

je suis en partie d'accord avec toi : l'enonce n'est pas incomplet puisqu'il y a la remarque importante (a moins que ce soit piou-piou qui l'ait rajoutee ?), mais plutot maladroitement pose, car pose a l'envers : il aurait fallu d'abord demander de prouver que F derive d'un potentiel, puis rechercher la fonction potentiel et enfin calculer le travail de F. J'avoue que quand j'ai fait cet exercice au brouillon, je suis parti tout de suite sur le calcul du travail en suivant le chemin que j'ai indique, avant de relire plus attentivement l'enonce et de rechercher Ep... C'est surtout pour ca que j'ai fait un corrige aussi detaille (il m'a tout de meme fallu plus d'une heure pour le taper !). Il peut y avoir des petites erreurs dedans, dans ce cas n'hesite pas a les signaler.

A bientot sans doute a l'occasion d'autres topics.  prbebo.