travail d'une force

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travail d'une force
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missdyns  15-12-07 à 21:05
salut , voici mon exercice sur lequel j'ai exploré des pistes de réflexions mais je ne suis pas sure qu'elles mènent à quelque chose : 

dans le plan rapporté aux axes Ox, Oy, on considère un champ de forces d'expression : 

F(x,y)=(y²-x²)i+ 2xyj

a) calculer le travail de cette force sur le parcours OAC puis sur OC

je précise que OA est la diagonale du rectangle de longueur AC donc C est sur l'axe des abscisse

Mes pistes de réflexion : 

Tout d'abord je me suis demandé si la force était conservative pour connaitre l'expression du travail à calculer seulement ce n'est pas précisé

je me suis alors dis que je devrai calculer le travail élémentaire seulement je rencotre un problème, en effet j'ai écrit que le travail élémentaire c'était F.dOA+F.dAC mais celà ne revient-il pas à calculer le travail sur OC et si c'est le cas cela veut dire que la force est conservative puisqu'alors elle ne dépendrai pas du chemin suivi. De plus je ne vois comment calculer la dérivée de OA n'ayant pas les coordonnées de A. Je vous remercie pour l'aide que pourrez m'apporter.

Missdyn's
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missdynsre : travail d'une force  15-12-07 à 21:06
je précise que je n'ai pas non plus les coordonnées de C
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lologuemre : travail d'une force  15-12-07 à 22:54
Une force est conservative si elle dérive d'un potentielle. Essayons de trouver une "primitive" de F(x,y).

Suivant y, cela donne : V(x,y) = xy²+cst(x)

Suivant x : V(x,y) = xy² -x^3/3

On vérifie que ça marche : 

grad(V) = xV i +yV j +zV k

=(y²-x²)i + 2xy j

Et là on se rend compte qu'on a eu un gros coup de bol! 

Il y a également le théorème de Poincaré (je ne sais pas d'où il vient mais ça marche...avec l'hypothèse d'un ensemble "étoilé"?) : si rot F = 0 (partout) alors F dérive d'un potentiel...:o

J'ai trouvé ça tout seul ! Je suis peut être en passe de devenir intelligent... le moment serait historique !

Ah oui j'oubliais : les physiciens utilisent un potentiel tel que F=-gradV, tu rajoutes des moins partout et c'est bon...
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missdynsre : travail d'une force  16-12-07 à 10:54
je te remercie mais gradV je ne connais pas
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lologuemre : travail d'une force  16-12-07 à 14:24
désolé, on a : Fx = y²-x² = -dV/dx   et  Fy = 2xy = -dV/dy   ( et Fz = -dV/dz ).

Par exemple pour la force de pesanteur : F = Fz = -mg  donc  V = mgz ,  dans ce cas le potentiel correspond également à une énergie (elle est définie par E= 0z F.dl = F*z) : c'est l'énergie potentielle de pesanteur.
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missdynsre : travail d'une force  16-12-07 à 17:33
oui mais je ne vois pas comment calculer le travail
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lologuemre : travail d'une force  16-12-07 à 18:43
Comme la force est conservative, on peut choisir le "chemin".

Je ne vois pas bien la figure, mais a priori on a :

WOAC=WOC = OCF.dl  avec dl // OC

d'où Woc = xc0 Fx(y=0)*dx = -xC3/3

Autre manière : théorème de l'énergie cinétique : Ep(OC) = -WOCFcons.

Ic on utilise le potentiel V, V(OC) = V(xC,0) - V(0,0) = -xC3/3 = WOC (toujours l'histoire du moins...)

En fait c'est la même chose...
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missdynsre : travail d'une force  17-12-07 à 19:20
désolé je ne comprend vraimnt pas normalement dans cet exo c'est grace au travail que k'on déduit que la force est conservative
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lologuemre : travail d'une force  17-12-07 à 22:29
J'ai déjà donné le calcul de WOC

Pour WOAC :

*WOA

Le problème c'est que y dépend de x : on ne peut pas séparer les intégrales.

Le plus simple est d'exprimer y en fonction de x. y = yA/xA*x  et dy = yA/xA*dx

dW = Fx dx +Fy dy = ((yA/xA)²-1)*x² dx  + 2*yA/xA*x² yA/xA*dx = (3(yA/xA)²-1)*x² dx

donc W = (3(yA/xA)²-1)*0xA x² dx = (3(yA/xA)²-1)*xA3/3 = yA²*xA -xA3/3

*WAC : de la même manière que WOC

W= yA0 Fy(x=xA) dy = 2*xA*yA0 y dy =2*xA *(-yA²/2) = -yA²*xA

*WOAC= WOA + WAC = -xA3/3

On retrouve le même résultat

A priori la force semble être conservative... ( On ne l'a montré que pour 2 chemin...)

N'hésite pas si tu ne comprends pas un truc!
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lologuemre : travail d'une force  17-12-07 à 22:32
oupss!! j'ai cru que xA=xC...

Le principe reste le même que pour OA ( avec une équation de droite un peu plus compliqué...)
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missdynsre : travail d'une force  18-12-07 à 20:24
sniffffffff je ne comprends rien
  Posté par 
lologuemre : travail d'une force  18-12-07 à 21:13
 c'est pas facile...

Je vais reprendre toutes les étapes du raisonnement.

Pour OC on se déplace sur la droite d'équation y = 0 donc la force est donnée par F(x,0) : puis on calcule le travail de cette force de x=0 à x=xC.

Si j'ai bien compris, pour WOAC, on se déplace sur la droite OA puis AC donc WOAC = WOA + WAC. (fais un dessin!)

   * L'équation de la droite OA est y = yA/xA *x donc la force est donnée par F(x)= F(x, yA/xA *x) : on calcule le travail de cette force de x=0 à x=xA.

   * L'équation de la droite AC est y = -yA/(xC-xA) *(x - xC) (la droite passe par (xC, 0) et (xA, xC)) donc la force est donnée par F(x)= F(x, -yA/(xC-xA) *(x - xC) ): on calcule le travail de cette force de x=xC à x=0.

Normalement on devrait trouver - xC3/3 .