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Transport parallèle

Posté par
jean78 21-10-19 à 19:21

Bonjour,

On considère un espace 2D plan. En coordonnée polaire la métrique prend la forme : $ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2$ .
Les symboles de Christoffel sont : $\Gamma^r_{\theta \theta}=-r$ , $\Gamma^\theta_{r \theta}=1/r$ , $\Gamma^\theta_{\theta r}=1/r$ .

J'aimerais calculer le transport parallèle d'un vecteur $V^\mu=(1,0)$ sur un cercle de rayon $r_0$ , de $\theta = 0$ jusqu'à $\theta$ .

Le vecteur $U^\mu=(0,1)$ est le vecteur définissant le chemin parcourut par $V^\mu$ .
On a : $U^\alpha V^\mu;\alpha=V^\mu;\theta=V^\mu,\theta+\Gamma^\mu_{\theta \beta}V^\beta=0$ .
On obtient les équation : $V^{r},\theta=r_0V^\theta, \ V^{\theta},\theta=-1/r_0V^r$ .

Je trouve comme solution : $V^r = cos(\theta), V^\theta = -1/r_0 sin(\theta)$ .

Et c'est là que j'ai un problème. Je pensais que le transport parallèle conservait la norme du vecteur transporté. Or ici la norme de $V^\mu$ dépend à la fois de $\theta$ et de $r_0$ (alors qu'elle vaut 1 au départ).

Merci d'avance.

Posté par re : Transport parallèle 21-10-19 à 21:49

Bonsoir,
Le transport parallele conserve bien le produit scalaire (mais au sens de la metrique )

||V|| ²= g(V,V) = (V^r )² + r² (V⁾²

Donc on retrouve bien 1 pour le transporté parallele en (r_o,)

Posté par re : Transport parallèle 22-10-19 à 18:18

Merci !

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