Bonjour Nalana66,

c'est un probleme classique de mecanique des solides, puisque le cylindre, qui a un rayon et une masse, possede un moment d'inertie J = (1/2).m.r². Le mouvement d'un solide peut etre etudie grace a ses deux composantes :
1) le mouvement de son centre de gravite G, defini par son acceleration a, regi par la relation  Somme des forces appliquees au solide = m.a (je mets en gras les grandeurs vectorielles).
2) la rotation du solide autour de G, defini par un angle de rotation autour d'un axe de rotation et regi par la relation Somme des moments des forces = J.d²/dt², cettte derniere quantite etant la derivee seconde de (t). Cette 2ieme relation, donnee par ton prof, est elle aussi vectorielle, mais bien souvent on peut se  contenter de cette expression si l'axe de rotation est constamment perpendiculaire a la feuille de papier. Dans ce cas, si l'axe de rotation vient vers toi, on compte positivement le moment des forces qui tendent a faire tourner le solide dabns le  sens trigo, et negativement celui des forces qui tendent a le faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre. La, il faudrait que tu revises la definition du moment d'une force par a un point donne O.

Regarde le schema ci-dessous, d'abord la figure 1 :

1) Les forces appliquees au cylindre sont son poids et la tension T, donc la relation 1, projetee sur l'axe Oz oriente vers le bas donne mg - T = ma, avec a = d²z/dt².

2) on ecrit le moment des deux forces par rapport a O, un pt de l'axe du cylindre. Pourquoi O ? facile, c'est parce que le moment du poids par rapport a O est nul.
La tension T tend a faire tourner le cylindre dans le sens trigo, donc son moment a pour norme r.T et on le compte positivement. Donc rT = J.d²/dt².

Maintenant regarde la figure 2 : supposons que le cylindre tourne d'un petit angle d ; alors un point de sa peripherie de deplace de l'arc rouge r.d. C'est aussi la quantite dont la corde s'est deroulee, donc pour cette petite rotation le cylindre est descendu de dz. On ecrit donc dz = r.d.
Si on divise cette relation par dt, on obtient dz/dt = r.d/dt, reliant ainsi la vitesse de chute dz/dt a la vitesse angulaire de rotation d/dt. En derivant prpt a t, on obtient facilement la relation d²z/dt² = a = r.d²/dt², soit d²/dt² = a/r.

La relation 2) devient r.T = J.a/r, soit T = (J/r²).a. On dispose ainsi d'une deuxieme relation reliant T et a, qui combinee avec la premiere (mg - T = ma) permet de trouver facilement T et a.

Ca n'en a pas l'air, mais ton probleme est fini ! Si de plus tu remplaces J par (1/2).mr², tu devrais trouver a = 2g/3. C'est une acceleration constante, donc la chute du cylindre le long de Oz est uniformement acceleree (mais pas avec g... a cause de son inertie). La loi horaire est donc z = (1/2).a.t² et v = a.t : tu trouveras facilement la valeur de v apres 2m de chute. Quant a la tension T, je te laisses trouver son expression toi-meme car le pb est suffisamment decortique .Si tu as d'autres question n'hesite pas.  Prbebo.