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Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrète

Posté par
astroB 08-03-10 à 12:00

Bonjour,

Je suis tombé aujourd'hui, au cours d'une simulation sur un problème que je n'arrive pas a résoudre.

Pour simplifier, prenons pour exemple le passage du courant dans un circuit RL.

On a donc U = R.i + L.\frac{di}{dt}
En réponse à un échelon unitaire U on a:

1/ Transformée en Z puis équation récurrente:

U = RI + pLI soit I = \frac{1}{R+Lp}.U

En z, I = \frac{1}{L}.\frac{z}{z-e^{-R/L.T}}.U

D'où i[n] = \frac{u[n]}{L}+e^{-R/L.T}.i[n-1]

On constate que "à l'infini" lorsque i[n] = i[n-1], on a:
i[n] = U.\frac{1}{L.(1-e^{-R/L.T})}
et non i[n] = U[n]/R

Alors, (si j'ai bien estimé mon dev. limité, car sa fait longtemps), lorsque T tend vers 0, on a bien U/R, mais comme c'est discret, T est fini et du cout au final j'obtient un "mauvais" résultat...

2/ Dérivée discrète

U = RI + pLI

soit U[n] = RI[n] L.\frac{[i[n]-i[n-1]}{T}

d'où I[n] = \frac{1}{R+L/T}.U[n]+L/T.I[n]

Quand, i[n]=i[n-1], on a bien U/R quelque soit la valeur de T...

3/ Conclusion?

Alors, la 2de méthode me donne le bon résultat... mais n'y a-t-il pas de limitation? (car je dois discrétiser le fonctionnement d'un moteur synchrone...). Etant donné que je peut obtenir une fonction de transfert de mon moteur (ect...), la TZ peut être pas mal, mais je dois mal m'y prendre non? (sa commence à faire un petit moment que je n'y avait plus touché...)

Merci d'avance de m'éclairer sur ce point!

Posté par
alexisduchaussoyre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 08-03-10 à 19:57

tu devrest pluse ecoutait en coure, poure fére tai devoires^^

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 09-03-10 à 09:28

J'ai fini mes cours depuis quelques temps... mais il semblerait que les cours de français, vous ne les aillez pas beaucoup écoutés... Je ne suis certainement pas la personne la plus calé en français, mais là cela dépasse l'entendement! Quelqu'un de plus... sérieux?

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 09-03-10 à 13:51

Bonjour,
Oui, un guignol... Pour faire autant de fautes, il faut le faire exprès à mon avis...

La dérivée discrète

Citation :
3$I[n] = \frac{1}{R+L/T}.U[n]+L/T.I[n]

On trouve à peu près ça ...
Et plus exactement
3$i_n\,=\,\frac{U_n}{R\,+\,\frac{L}{T}}\,+\,\frac{L}{RT\,+\,L}\,i_{n-1}
Si i devient constant ==> in-1 = in, on trouve :
3$i = \frac{U}{R}

La transformée en Z
3$u(p)\,=\,R\,i(p)\,+\,pLi(p)
3$i(p)\,=\,\frac{u(p)}{R\,+\,pL}
Si on a un échelon de tension  3$u(p)\,=\,\frac{U}{p}
3$i(p)\,=\,\frac{\frac{U}{p}}{R\,+\,pL}
3$i(p)\,=\,\frac{U}{L}\,\frac{1}{p(p\,+\,\frac{R}{L})}
Décomposition en éléments simples :
3$i(p)\,=\,\frac{U}{L}\,\Big(\frac{A}{p}\,+\,\frac{B}{p\,+\,\frac{R}{L}}\Big)
On obtient 3$A\,=\,\frac{L}{R}\,\,et\,\,B\,=\,-\,\frac{L}{R}
D'où :
3$i(t)\,=\,\frac{U}{L}\,\Big(\frac{L}{R}\,-\,\frac{L}{R}\,e^{-\,\frac{R}{L}t}\Big)
3$i(t)\,=\,\frac{U}{R}\,\Big(1\,-\,e^{-\,\frac{R}{L}t}\Big)

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 09-03-10 à 13:56

Je viens de voir que, pour la transformée en Z, ce n'est pas ce que tu veux obtenir...
Tu veux in en fonction de in-1.

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 09-03-10 à 14:04

Déjà, merci pour votre réponse!

Pour la dérivée discrète, effectivement, faute de recopiage mais j'avais le bon résultat! (honte à moi)

Par contre, pour la TZ, vous obtenez effectivement un bon résultat, mais pas de tout ce que je recherche:
-> vous obtenez UNE (bonne) solution pour l'échelon alors que je voudrais toutes les solutions (quelque soit U), avec une équation récurrente (ce que j'ai "tenté" de faire...). J'ai parlé de l'échelon pour avoir un cas trivial de vérification. Car avec la dérivée discrète, on a bien "toutes les solutions" quelque soit l'entrée U.

Avez-vous une idée de l'endroit où je m'y prend mal pour la TZ?

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 09-03-10 à 19:10

Citation :
D'où i[n] = \frac{u[n]}{L}+e^{-R/L.T}.i[n-1]

La première chose que l'on peut voir (et que j'aurais dû voir avant) est que  \frac{u[n]}{L}  n'est pas homogène à un courant.
Je trouve :
i_n\,=\,\frac{U_n}{R\,+\,\frac{L}{T}}\,+\,\frac{L}{R\,T\,+\,L\,}\,i_{n-1}
Et là, c'est une équation homogène ...

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 10-03-10 à 08:59

J'ai vérifié (sur ma simu') et effectivement on trouve bien le bon résultat... maintenant ma question est: comment? Pourriez-vous m'expliciter les étapes afin que je comprenne où j'ai fait faux dans mon raisonnement...

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 10-03-10 à 21:25

Quelque chose comme ça...
3$U_n\,=\,R\,i_n\,+\,L\,\frac{di_n}{dt}
3$\frac{di_n}{dt}\,\rightarrow\,\frac{1\,-\,z^{-1}}{T}\,i_n
3$U_n\,=\,(R\,+\,\frac{L}{T}\,-\,z^{-1}\,\frac{L}{T})\,i_n
3$i_n\,=\,\frac{U_n}{R\,+\,\frac{L}{T}\,-\,z^{-1}\,\frac{L}{T}}

3$i_n\,=\,\frac{U_n\,T}{RT\,+\,L}\,\,\frac{1}{1\,-\,z^{-1}\,\frac{L}{RT\,+\,L}}
3$i_n\,(1\,-\,z^{-1}\,\frac{L}{RT\,+\,L})\,=\,\frac{U_n\,T}{RT\,+\,L}

3$i_n\,=\,\frac{U_n\,T}{RT\,+\,L}\,+\,\frac{L}{RT\,+\,L}\,z^{-1}\,i_n

3$i_n\,=\,\frac{U_n\,T}{RT\,+\,L}\,+\,\frac{L}{RT\,+\,L}\,i_{n-1}

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 11-03-10 à 09:06

Ok... mais vous utilisez le fait que 3$\frac{di_n}{dt}\,\rightarrow\,\frac{1\,-\,z^{-1}}{T}\,i_n mais finalement cela n'utilise pas "vraiment" la transformée en Z dans le sens où cela revient exactement à la transformée discrète (comme z^-1 est un retard). Comment ce fait-il que si on utilise la transformée de Laplace puis en Z, alors on ne trouve pas du tout pareil? (car même si je me suis trompé dans le calcul, comme une exponentiel apparaît, c'est certain qu'on ne trouvera pas le même résultat!)

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 11-03-10 à 16:44

Tu peux me donner le détail de ton calcul ?

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 11-03-10 à 17:04

U = RI + pLI soit I = \frac{1}{R+Lp}.U{T}\,i_n

On "sait" que \frac{1}{p+a} donne \frac{z}{z-e^{-aT}} ou encore \frac{1}{1-z^{-1}.e^{-aT}} (table de transformée)

D'où I = \frac{1}{R+Lp}.U \rightarrow\ I = 1/L.\frac{1}{p+R/L}.U \rightarrow\ I = 1/L.\frac{1}{1-z^{-1}.e^{-R/L.T}}.U

Ou encore: I.(1-z^{-1}.e^{-R/L.T}) = 1/L.U \rightarrow\ I[n]-I[n-1].e^{-R/L.T} = U[n]/L

Soit au final: I[n] = U[n]/L + I[n-1].e^{-R/L.T}

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 11-03-10 à 18:21

Je n'ai pas encore trouvé l'erreur mais il y en a forcément une parce que Un/L n'est pas homogène à un courant.

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 11-03-10 à 18:56

Citation :
3$I = 1/L.\frac{1}{p+R/L}.U \rightarrow\ I = 1/L.\frac{1}{1-z^{-1}.e^{-R/L.T}}.U

L'erreur se trouve à cet endroit...
A gauche de la flèche, c'est homogène.
A droite de la flèche, ce n'est pas homogène.

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 12-03-10 à 08:59

C'est étrange vu que je l'ai trouvé dans une table de transformée (=> http://cours.polytech.unice.fr/ssii/6.filtrer/6.Tablez.pdf )
Que veux dire "non homogène"?
Comment faire si je veux passer de p en z alors? (encore une fois, ce cas est un exemple trivial, pour que je puisse l'adapter à un cas plus complexe)

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 12-03-10 à 12:43

Citation :
Que veut dire "non homogène"?

3$\frac{U}{L\,(p\,+\,\frac{R}{L})}  a la dimension d'un courant.

3$\frac{U}{L\,(1\,-\,z^{-1}\,e^{-\,\frac{R}{L}\,T})} a la dimension V / .s  donc  A.s-1, donc pas un courant.

Je suis d'accord avec la transformée en z.

Au final, on retrouve le problème puisque Un / L n'a pas la dimension d'un courant (A.s-1). Donc c'est forcément faux.
3$I[n]\,=\,\frac{U[n]}{L}\,+\,I[n-1]\,e^{-\frac{R}{L}\,T}

Je n'ai pas encore trouvé l'erreur. Il faut dire que je ne fais pas des transformées en z tous les jours

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 12-03-10 à 15:54

Effectivement, bien vu! Mais la table me semblait bonne... étrange...

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 12-03-10 à 17:30

Mais la transformée en z est bonne...
La transformée en z de  3$\frac{1}{p+a}  est bien  3$\frac{1}{1-e^{-\frac{R}{L}T}z^{-1}}. C'est la transformée de  3$e^{-at}.

Posté par
astroBre : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 13-03-10 à 12:08

On note que 3$\frac{1}{p+a} est homogène à un temps (avec dans notre cas a = R/L) mais que \frac{z}{z-e^{-aT}} est sans unité... donc le soucis, même si je ne connaît pas la réponse, devrais se trouver pas là... non?

Posté par
Marc35re : Transformée en z => équations récurrentes VS dérivée discrè 13-03-10 à 20:13

Je pense que le souci devrait se trouver là, en effet...


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