Niveau master

transformée de Fourier

Posté par
jybb 30-10-22 à 14:29

Bonjour,

J'ai un exercice sur la Transformée de Fourier niveau M1 physique qui me bloque, voici l'énoncé (cf. schéma joint) :
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1. Passez par le signal $x_p(t)$ obtenu par périodisation du signal $x(t)$ sur une période T.
a. Calculez les coefficients $c_n$ de la décomposition en séries de Fourier en utilisant une base d'exponentielles complexes $e^{j2\pi\dfrac{n}{T}t}$

ici je calcule : $c_n = \dfrac{1}{T}\int_{-\tau/2}^{\tau/2}Ae^{-j2\pi\dfrac{n}{T}t}dt = \dfrac{A}{\pi n}\sin(\pi\dfrac{n}{T}\tau)$

b. A partir de la relation reliant les $c_n$ et la transformée de Fourier d'un motif du signal périodique, proposez sans calcul la transformée de Fourier $X(f)$ de $x(t)$

ici dans mon cours on a la relation : $c_n = \dfrac{1}{T}X\left(\dfrac{n}{T}\right)$ avec $X(f)$ étant la Transformée de Fourier de $x(t)$

donc ensuite j'obtiens : $X\left(\dfrac{n}{T}\right) = \dfrac{TA}{n\pi}\sin\left(\pi\dfrac{n}{T}\tau\right)$

Mais à partir de là je n'arrive pas à obtenir $X(f)$ est-ce que je dois poser $f = \dfrac{1}{T}$ et donc $X(nf) = \dfrac{A}{\pi nf}\sin(\pi nf\tau)$ ? Mais là j'ai $X(nf)$ et pas $X(f)$ ...

2. Utilisez la définition de la transformée de Fourier et calculez directement l'intégrale sur table.

3. Comment évolue la bande passante du spectre lorsque la largeur τ de la porte dans le domaine temporel est modifiée ?

Merci d'avance pour votre aide