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transformation polytropique
bonjour,
j'ai un problème avec la mise en forme d'un résultat d'un exercice de thermo :
on appelle transformation polytropique de paramètre alpha, une transformation quasi statique au cours de laquelle le monome (pV)^alpha est constant.
tout d'abord je dois calculer le travail de compression polytropique de n moles d'un gaz parfait où le rapport volumétrique est a=Vo/V1 où Vo est le volume initial et V1 le volume final, on doit exprimer alors le travail en fonction de n, To, alpha et a
alors tout d'abord j'ai écris que le travail= intégrale de VdP, d'où W= nRTo ln(P1/Po)=nRTo ln (Vo/V1)^alpha
= nRTo ln (a)^alpha
seulmeent ds l'enoncé on ne doit aps faire apparitre R ds le résulat.. comment faire pour s'en débarasser?
de plus ensuite gamma=cp/cv est l'exposant adiabatique du gaz , gamma est supposé constant on doit alors exprimer la température T1 du gaz en fin de compression ainsi que la variation d'énergie interne subie par le gaz on doit exprimer cela en fonction de n, To, a, alpha, gamma et R
pour cela j'ai écris d'abord que adiabatique alors Q=0
donc W=delta U = intégrale de n*capacité calorifique molaire*dT
or capacité calorifique molaire (Cv)= R/ (gamma -1)
si gamma est constant alors Cv constant
d'où delta U= (nR(T1-To))/(gamma-1) =W
alors (nR(T1-To))/(gamma-1) = nRTo ln (a)^alpha
ainsi T1=...
mais le problème c'est que là encore T1 n'est pas exprimée en fonction de toutes les données demandées, il manque nR
enfin je dois montrer après que lors d'une évolution elementaire le long de cette transformation polytropique produisant une variation de température de dT, le transfert thermique venant de l'extérieur et reçu par une mole de ce gaz parfait peut s'écrire : (petit delta)Q=KdT, où K est une constante exprimée en fonction des données.
peut on dire que dU= CvdT= (petit delta)W+ (petit delta)Q alors (petit delta)Q=CVdT+Pdv
mais que faire de PdV?
merci d'avance
bonjour,
déjà la loi de laplace impose que dans une transformation adiabatique : pV^alpha = cste et non (pv)^alpha, on est d'accord ?
euh désolée j'avais postée ce message initialment sous le pseudo de mon frère
on te donne une égalité du type pv^k = cste ... pourquoi remplaces-tu pour intégrer dans W = intégrale(pdv) p par nRT0, il ne faut pas oublier que T varie, il n'est pas constant, remplace plutôt P par cste sur V^k, et dis moi ensuite le résultat que tu as trouvé !
alors ça donne W= cte*intégrale de (dV/V^k)
alors W= cte*(1/k)* ln (V1/Vo)^k
= cte*(1/k)*ln(1/a)^k
non?
En effet la primitive de 1/x^n est :
-(1/(n+1))*x^-(n+1)
dans ce cas W= cte*(-1/(k+1))*[V1^-(k+1) -Vo^-(k+1)] non?
je ne sais pas..
peut être d'après la loi des gaz parfaits, PV^k=cte=nRTo?
non PV= nRT
et non PV^k, ta constante est simplement égale à P0 V0^k... donc remplace par cette valeur
alors on a : W=Po Vo^k*(-1/(k+1))*[V1^-(k+1) -Vo^-(k+1)]
alors W= (-1/(k+1))*[nRTo(-a^k*(1/(VoV1))+(1/Vo^2)]
dans le premier terme au lieu de remplacer ta constante par P0V0^k tu remplaces par : P1V1^k ... comme ça tu aboutis à une expression beaucoup plus simple !
Alors après pleusieurs reprises de calculs j'obtiens :
W= (1/-k+1)*(nRTo)*(1-a^(k-1))
le seule problème c'est que R intervient ds le résultat alors qu'il n'était pas demandé ds l'enoncé
pour la suite j'ai pensé partir de :
adiabatique alors Q=0
donc W=delta U = intégrale de n*capacité calorifique molaire*dT
or capacité calorifique molaire (Cv)= R/ (gamma -1)
si gamma est constant alors Cv constant
d'où delta U= (nR(T1-To))/(gamma-1) =W
alors (nR(T1-To))/(gamma-1) = (1/-k+1)*(nRTo)*(1-a^(k-1))
ainsi T1= To*(gamma-1)*[(1/(-k+1))*(1-a^(k-1) + 1/(gamma-1)]
le raisonnement est il cohérent?
merci j'aboutis à la même relation, pour la suite alors sachant que P1V1^k= PoVo^k alors on obtient: T1V1^(k-1)=ToVo^(k-1) d'où T1 non?
enfin je dois montrer après que lors d'une évolution elementaire le long de cette transformation polytropique produisant une variation de température de dT, le transfert thermique venant de l'extérieur et reçu par une mole de ce gaz parfait peut s'écrire : (petit delta)Q=KdT, où K est une constante exprimée en fonction des données.
peut on dire que dU= CvdT= (petit delta)W+ (petit delta)Q alors (petit delta)Q=CVdT+Pdv
mais que faire de PdV?
j'ai pensé exprimer dV en fonction de dT
en partant de TV^(k-1)= cte
alors d(TV^(k-1))=0
dT* V^(k-1)+ T*(k-1) dV* V^(k-2)=0
d'où dV= -dT/(T*(k-1)V)
alors (petit delta)Q=CVdT+(RT/V)* [ -dT/(T*(k-1)V)]
mais comment se débarasser de V?
mais le problème c'est que je suis justement partie de cette égalité pour aboutir à l'expression de dv en fonction de dT, mais le raisonnement pour exprimer dV est il correct?
ce qui me donne: PdV= -RdT/(k-1)
d'où( petit delta) Q= R[1/(k-1) - 1/(gamma-1)] (où k=alpha)
on a bien (petit delta) Q = O pour gamma=k
en revanche je bloque sur une question , il est question de montrer que la succesion de deux compression quasi-statiques, l'une isotherme de rapport volmétrique aT, l'autre adiabatique, de rapport volumétrique a(gamma) cconduit au même état final qu'une transformation de paramètre a. on devra exprimer alpha en fonction de aT, a(gamma) et gamma.
J'ai pensé exprimer la température finale de la succesion des compressions etla compression polytropique
alors j'écrirais compression isotherme PV=cte et surtout T1=To
la compression adiabatique : PV^(gamma)=cte
d'où Tf=T1* (V1/Vf)^(gamma-1)
or T1=To
alors: Tf=To* (V1/Vf)^(gamma-1)= To*a(gamma)^(gamma-1)
et par la compression polytropique on a Tf'= To* a(alpha -1)
mon problème c'est que je souhaiterais montrer que Tf'=Tf et exprimer alpha comme il l'est demandé dans l'énoncé..
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