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transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques

Posté par
Spoke63 13-11-20 à 16:45

Bonjour, je dois exprimer en coordonnées cylindriques le vecteur A définies en coordonnées cartésiennes par :

A =    y   i       +           x   j           +          x^2  /  racine carrée de (x^2 + y^2)   k
(avec i, j et k vecteurs unitaires)

Est-ce que vous pourriez me donner un autre exemple, développé, de transformation d'un vecteurs exprimé en coordonnées cartésiennes en cylindriques afin que je puisse résoudre ce problème ?  J'ai trouvé la méthode sur internet mais pas d'exemples d'application,  et je n'arrive pas au bon résultat.

Merci pour votre aide

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 13-11-20 à 17:14

Bonjour,

On trouve, par exemple sur le site de l'université du Mans   les relations générales permettant de passer des unes aux autres.
Il suffit de les appliquer, quel est le problème ?

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 13-11-20 à 21:49

Mon problème c'est que visiblement je n'arrive pas à les appliquer :'(,
je vous envoie ce que j'ai fais ^^

** image supprimée => les propositions manuscrites ne sont pas acceptées **

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 13-11-20 à 22:47

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que vous avez écrit : on remplace y par sa valeur : y=r\sin(\theta) ; i par sa valeur : \vec{i}=\vec{e_x}=\cos(\theta)\vec{u_r}-\sin(\theta)\vec{u_\theta}, et on continue avec x j ...
Puis on regroupe, simplifie ...

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 14-11-20 à 06:55

Remarque : si vos préférez trois calculs simples plutôt qu'un compliqué, effectuez le produit scalaire de votre vecteur avec successivement \vec{e_r} ... puis remplacez x,y,z.

Remarque bis : vous pouvez écrire des équations à l'aide du bouton en dessous de la zone d'édition, aide disponible par le bouton \Sigma dans la barre de titre.

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 14-11-20 à 07:12

J'ai fini par comprendre, donc les trois premières sont presque correctes : disons que la première est : \vec{A}\cdot \vec{e_r}=y \cos(\theta) + x\sin(\theta)+0=A_r : on a effectué le produit scalaire, donc il n'y a plus de (i,j,k).
Il ne reste plus qu'à remplacer y et x.

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 14-11-20 à 14:58

Bonjour,

Merci beaucoup,

J'ai donc trouvé ceci, la méthode est bien appliquée je pense, mais mon pb doit être calculatoire car je ne trouve pas le même résultat que dans la correction, j'ai fais ceci :

A\times e1 = y\cos \phi - x\sin \phi = rsin\theta cos\theta - xsin\theta
A\times e2 = rsin\theta sin\theta \pm rcos\theta cos\theta = r(sin\theta )^2\pm r(cos\theta )^2
A\times e3 = \frac{(rcos\theta)^2 }{(rcos\theta )^2+(rsin\theta )^2} = \frac{rcos\theta}{rsin\theta } = \frac{cos\theta }{sin\theta }

En sachant que le premier dénominateur de A*e3 est racine carrée (je ne l'ai pas trouvé)  et je n'ai pas noté les vecteurs unitaires u indice r... car je n'ai pas trouvé comment faire l'indice. Je vais revoir ça pour plus de clarté les prochaines fois ^^

La réponse de l'exercice est celle ci :

A = rsin(2\theta )+ r(cos^2\theta -sin^2\theta ) + rcos\theta

Avec le vecteur 1 u indice r, le vecteur 2 u indice theta et le vecteur 3 u indice z. Ah oui et A est un champ vectoriel, mais je n'ai pas trouvé comment placer une flèche par dessus.

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 14-11-20 à 15:24

\vec{A}\times \vec{e_r} = y\cos \phi - x\sin \phi = rsin\theta cos\theta - xsin\theta

il faut aussi remplacer x,  et \vec{e_r}\cdot  \vec{e_y}=+sin(\theta)

Pour vérifier les signes, faites un dessin.

\vec{A}\times \vec{e_\theta} = rsin\theta sin\theta \pm rcos\theta cos\theta = r(sin\theta )^2\pm r(cos\theta )^2

\vec{e_\theta}\cdot  \vec{e_x}=-sin(\theta) pas plus ou moins.

\vec{A}\times \vec{e_z} = \frac{(rcos\theta)^2 }{(rcos\theta )^2+(rsin\theta )^2} = \frac{rcos\theta}{rsin\theta } = \frac{cos\theta }{sin\theta }

Je ne comprends pas le dénominateur : \sin^2+\cos^=1 et où est passé la racine ?

Ceci étant, vous avez pris la bonne direction.

Pour mettre une flèche : \vec{A} donne   \vec{A}

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 15-11-20 à 16:15

Bonjour, pourquoi doit-on faire
\vec{er} \times \vec{ey} ? (ainsi que pour vecteur unitaire etheta et ex) ?

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 15-11-20 à 16:48

Pour avoir la composante radiale on projète sur la direction radiale autrement dit :   A_r=\vec{A}\cdot \vec{e_r}
Quand on remplace  \vec{A} par sa valeur \vec{A}=A_x \vec{e_x}+A_y \vec{e_y}+Az \vec{e_z}, on tombe obligatoirement sur ces produits scalaires.

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 14:41

Bonjour, désolée ma réponse tarde un peu :/

D'accord mais dans ce cas pourquoi ne fait-on pas aussi e indice x * e indice r ?
(à ce propose si vous pouviez m'indiquer comment faire un indice avec le clavier se serait super ^^)  

Et si jamais il faut effectivement faire le produit scalaire de ces deux vecteurs unitaires, combien fait ex*er ? Je dirais cos(\theta ) non ?

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 14:49

Bonjour,

Pour la présentation, il y a deux méthodes :
- simple : boutons en bas de la zone de texte X2 et X2
- plus évolué : bouton LTX et aide avec le bouton \Sigma dans la barre de menus tout en haut.

"pourquoi ne fait-on pas aussi \vec{e_x} \cdot \vec{e_r} ? "
On le fait ... et cela fait bien cos : il suffit de faire un dessin.

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 14:55

Si je fais le produit scalaire, ça donne ça pour

\vec{A}\times e\theta = rsin\theta - sin\theta \vec{e} + cos\theta rcos\theta \vec{e}y = rsin\theta -sin\theta -sin\theta + cos\theta rcos\theta sin\theta = rsin\theta - 2sin \theta + (cos\theta)^2rsin\theta

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 14:57

D'accord je vais le refaire, j'ai rédigé ma réponse pendant que vous postiez votre réponse, je n'ai donc pas eu le temps de la lire avant de poster.  

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 15:12


A_\theta=\vec{A}\cdot \vec{e_\theta} = r \sin\theta(\vec{e_x}\cdot\vec{e_\theta}) + rcos\theta (\vec{e_y}\cdot \vec{e_\theta}) = r \sin\theta\cdot( -\sin\theta)+r \cos\theta \cdot (\cos\theta) =r(\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))

On remplace y par sa valeur r sin() et x par sa valeur r cos()

Posté par
Spoke63re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 16:33

Voilà, je pense que c'est bon :

A_r = \vec{A}\times \vec{e}_r = rsin\theta (\vec{e}_x\times \vec{e}_r)+rcos\theta (\vec{e}_y\times \vec{e}_r) = rsin\theta (cos\theta )+ rcos\theta (sin\theta ) = rsin\theta cos\theta + rcos\theta sin\theta = rsin\theta cos\theta +rsin\theta cos\theta = 2rsin\theta cos\theta \\ \\ A_z = ((rcos\theta ))/ racine carr(rcos\theta )^2 + (rsin\theta)^2 = (rcos\theta / racine carrée de (rcos\theta )^2 + rsin\theta )^2

Et Atheta vous l'avez fait ^^

Posté par
gts2re : transformation des coordonnées cartésiennes en cylindriques 24-11-20 à 16:44

Cela a l'air correct, mais vous pouvez simplifier :

en latex racinecarréede s'écrit \sqrt{}

D'autre part \cos^2(\theta ) + sin^2(\theta) = 1


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