Niveau maths spé

transferts thermiques

Posté par
pseudoo 04-06-22 à 16:08

Bonjour, je bloque sur cet exercice :

On considère une barre cylindrique selon Ox, de longueur L, de rayon a, de conductivité thermique $\lambda$ et telle que $T(x=0) = T_1$ et $T(x=0) = T_2$ . L'air extérieur est à la température $T_0$ ( $T_1>T_2>T_0$ ) et il existe un flux conducto-convectif de coefficient h entre l'air et la surface latérale de la barre. On se place en régime permanent.

1)Déterminer l'équation différentielle vérifiée par T. La résoudre sans chercher a déterminer les constantes de l'expression.
2)On donne la courbe de T en fonction de x pour 3 valeurs de h différentes. Interpréter ses 3 courbes, déterminer $h_1$ et ranger les valeurs correspondantes de h dans l'ordre croissant.
3)On donne le schéma équivalent de la barre cylindrique. Déterminer $R_{cond}$ et $G_{fuite}$ .

1)On fait un bilan thermique sur dx : on trouve $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}-\frac{T}{\delta^2}=-\frac{T_0}{\delta^2}$ avec $\delta = \sqrt{\frac{\lambda a}{2h}}$ . D'où, $T(x) = A\exp(\frac{x}{\delta})+B\exp(\frac{-x}{\delta})+T_0$ où A et B sont des constantes.
2)En considérant $\delta$ bien plus grand que x, on peut faire un DL dans l'expression de T et retomber sur une modélisation linéaire de T : $T(x) = \frac{A-B}{\delta}x + A+B+T_0$ . Or, plus h est petit, plus $\delta$ est grand donc en classant les valeurs de h par ordre croissant je dirais : $h_1,h_2 puis h_3$ . Pour $h_1$ , je ne vois pas comment faire sans utiliser les conditions initiales et déterminer A et B mais l'énoncé dit de ne pas le faire (aucune valeur numérique n'est aussi donnée). Pour l'interprétation je dirais que plus les échanges avec l'extérieur par conducto-convection sont importants, plus T se rapproche d'une fonction linéaire..
3)Je bloque complètement à cette question, je sais qu'on peut faire une analogie avec la résistance en électrocinétique mais sinon je ne vois pas..

Merci de votre aide

transferts thermiques

Posté par re : transferts thermiques 04-06-22 à 16:09

question3

transferts thermiques

Posté par re : transferts thermiques 04-06-22 à 16:50

Pour l'étude qualitative de la question 2 : tu pourrais te poser la question suivante : que serait le profil de température en absence de perte par convection : h=0 (barre parfaitement isolée latéralement) ?
Pour la question 3 : il faut faire un bilan des puissances élémentaires reçues et perdue par la tranche élémentaire de barre comprise entre x et (x+dx) mais cela, tu as dû le faire pour établir l'équation différentielle...

Posté par re : transferts thermiques 04-06-22 à 20:19

2)En refaisant un bilan thermique, on a h=0 si et seulement si $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}=0$ si et seulement si T est une fonction affine de x .
Ainsi, la valeur de h1 est 0 car la courbe correspondante est une droite.
On en déduit l'interprétation des courbes : Plus on se "rapproche d'une droite", plus les pertes par conducto-convection sont faibles et inversement. Et de plus, h1<h2<h3.
3)bilan thermique sur dx :
$d\phi_e-d\phi_s = d\phi_{cc}$ où $d\phi_e$ est le flux entrant en x, $d\phi_s$ est le flux sortant en x+dx et $d\phi_{cc}$ est le flux dû à la conducto-convection sur la surface latérale de la barre( en effet même chose que pour la question 1). A partir de là, $\phi = \frac{\Delta T}{R}$ soit en utilisant le schéma équivalent $d\phi_{s} = 0$ , $d\phi_{cc} = \frac{T(x+dx)-T(x)}{R_{cond}}$ et $d\phi_e = (T(x+dx)-T(x))G_{fuite}$ mais ces 3 dernières valeurs me semblent fausses ..

Posté par re : transferts thermiques 04-06-22 à 23:31

D'accord avec toi pour la question 2. Pour la suite :
Tu as sûrement remarqué en cours l'analogie forte entre conduction électrique et conduction thermique : au potentiel électrique on peut faire correspondre la température et à l'intensité on peut faire correspondre la puissance thermique (flux thermique si tu préfères).

Ainsi la loi des nœuds en électricité donne ici le bilan de puissance utilisé pour démontrer précédemment l'équation différentielle vérifiée par T(x) :

$\phi_{(x)}=\phi_{(x+dx)}+d\phi_{cc}$

La loi de Newton sur la conduction-convection donne , en remarquant que l'aire de la surface latérale de la tranche élémentaire de barre est $2\pi.a.dx$ :

$d\phi_{cc}=h.2\pi.a.dx.\left(T_{(x)}-T_{o}\right)$

Par analogie avec la loi d'Ohm, on peut donc poser :

$h.2\pi.a.dx=G_{fuite}.dx\quad soit\quad G_{fuite}=h.2\pi.a$ : conductance linéique de fuite.

Pour la résistance thermique, on utilise la loi de Fourier :

$\phi_{(x)}=j_{Q}.\pi.a^{2}\quad avec\quad j_{Q}=-\lambda\cdot\frac{dT}{dx}=-\lambda\cdot\frac{T_{(x+dx)}-T_{(x)}}{dx}$

$T_{(x)}-T_{(x+dx)}=\frac{dx}{\lambda.\pi.a^{2}}\cdot dx.\phi_{(x)}=R_{cond}.dx.\phi_{(x)}\quad soit\quad R_{cond}=\frac{1}{\lambda.\pi.a^{2}}$

avec R_cond : résistance thermique linéique (résistance thermique par unité de longueur de barre) ; analogie évidente avec la résistance électrique : il suffit de remplacer la conductivité thermique par la conductivité électrique.