Bonjour, il s'agit de résoudre l'equation de diffusion d²T/dx²= a*dT/dt (dont la solution exacte est assez dégueulace dans tous les cas)...Une hypothèse qu'on faisait souvent en prépa, était de considérer les solutions de la forme T0 + g(x)*f(t)...ça vaut ce que ça vaut....

Il vient : g''*f = a*g*f' = lambda (une constante, cf en dessous pr l'explication)
L'idée est de tout diviser par f*g (on s'en fout de savoir si s'annule ou pas, on est en physique), il vient :
g''/g = a*f'/f...Or g ne dépend que de x et f ne dépend que de t, on a deux fonctions (g''/g et a*f'/f) qui ne dépendent pas de la même variable qui sont égales en tous points !! donc ces deux fonctions valent une constante (dont on ignore le signe).

Donc g''=lambda*g et f'=lambda*f

Ensuite, il faut résoudre d'une manière générale avec toutes les valeurs possibles de lambda (=0, >0, <0). Ensuite, il faut éliminer les solutions qui ne vérifient pas les conditions aux limites qui sont ici : f(t)*g(x) ne doit pas diverger en l'infini (suivant les 2 variables c à d que la température ne doit pas tendre vers +oo quand on va sous le lac ou quand on se place à x fixé et qu'on attend "longtemps") ceci te donne normalement le signe de lambda   ;   pour tout t, f(t)*g(0)=0 : ceci te permet normalement de trouver les constantes d'intégration...Il y a peut être d'autres conditions aux limites que je n'ai pas citées...

J'ai l'impression qu'on ne peut pas éditer (je suis nouveau ici). J'ai fait une erreur :
g''*f = a*g*f' = lambda est faux :

C'est : g''/g=f'/f=lambda

Désolé.

Je viens de capter que le sujet est assez vieux...J'espère que ca c'est bien passé.