Une bille de cuivre de 10mm de diamètre est placée dans un four à 90°C pour subir un traitement de surface dans une atmosphère contrôlée. Après ce traitement la sphère est sortie du four puis placée dans un courant d'air sous pression atmosphérique avec une vitesse de 10m/S à 20°C. Estimer le temps nécessaire pour que la bille atteigne une température moyenne de 35°C .

Hypothèses
On négligera le rayonnemenet et les gradients de température dans la bille de cuivre. On supposera que la bille a eu le temps d'atteindre l'équilibre thermique dans le four. On considéra les propriétés thermophysiques du cuivre constantes pour l'intervalle de température considéré. En considérant l'équation de la chaleur, écrire que la variation de quantité de chaleur accumulée dan la bille ρvC dT/dt est égale au flux de chaleur perdu par convection.

On posera ϴ= T-Tinfini et donc dϴ/dt=dT /dt en séparant les variable, intégrer l'équation entre les insatns 0 et t pour les différence de température ϴi et ϴ0.

Donner l'expression du rapport ϴ/ϴi en fonction du temps.

On utilisera la corrélation de Whitaker ou les propriétés du fluide sont prises à Tinfini à l'exception de μS qui est considérée avec un température de surface moyenne pour la bille (Ti + Tf)/2

NuD= 2+ (0,4 ReD ^(1/2)+ 0,06 ReD ^(1/ 3) )*Pr^(0,4)* (μ/μs)^(1/4)

0,71<Pr<380
3,5<ReD<7,6*10^4
1,0<(μ/μs)<3,2

Données
Cuivre (valeurs moyennes pour la température considérée)
Ρ=8933kg/m 3 ; λ= 399W/m.K Cp=387 J/kg.K

Tair K Tair °C Ρ kg/m3 Cp J/kg.K ν m²/s         Λ W/m.K   a m2/s Pr

100 -173 3.5562 1032         2.000 e-06 0.0093   2.54e-06 0.786
150 -123 2.3364 1012         4.426 e-06 0.0138   5.84 e-06 0.758
200 -73 1.7458 1007         7.590 e-06 0.0181   1.03 e-05 0.737
250 -23 1.3947 1006         1.144 e-05 0.0223   1.59 e-05 0.720
300 27 1.1614 1007         1.589 e-05 0.0263   2.25 e-05 0.707
350 77 0.9950 1009         2.092 e-05 0.0300   2.99 e-05 0.700
400 127 0.8711 1014         2.641 e-05 0.0338   3.83 e-05 0.690
450 177 0.7740 1021         3.239 e-05 0.0373   4.72e-05 0.686
500 227 0.6964 1030         3.879 e-05 0.0407   5.67e-05 0.684

Je ne vois pas du tout comment commencer la résolution de cette exercice pouvez-vous m'aider ?
Est-ce que je dois intégrer l'équation de fourier en coordonnées sphériques pour obtenir le flux mais après je ne vois pas comment obtenir le profil de température dans le cas d'une représentation sphérique.
Je ne vois pas non plus comment utiliser l'expression de Whitaker ?

Pouvez-vous m'aider ?
merci d'avance