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Niveau maths spé
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[Transfert thermique] Continuité de la température ?

Posté par
Xardas45
11-01-17 à 06:45

Bonjour, j'ai une petite question, dans le cadre du transfert thermique, est-ce que la température est toujours continue à l'interface de 2 solides ? Est-ce le cas pour un cas quelconque, c'est-à-dire liquide-solide etc..

Et si non, est-ce que l'hypothese du contact parfait implique la continuité de la température ?

Si non encore, est-ce que le fait qu'il n'y ait pas de fuites impliquerait enfin la continuité de la température ?

Je vous remercie !

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 10:51

Bonjour
En absence de vide, il y a toujours continuité de la température.
A l'interface de deux solides en contact parfait, il y a continuité aussi du vecteur densité de flux thermique \overrightarrow{j_{th}}=-\lambda.\overrightarrow{grad}\left(T\right) ( : conductivité thermique) donc discontinuité du gradient de température. Dans le cas simple d'une conduction unidirectionnelle suivant un axe (Ox) en régime quasi permanent, cela se traduit par une discontinuité à l'interface des deux conducteurs du coefficient directeur de la droite T = f(x).

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 15:41

Merci de ta réponse.

Cependant, je ne comprends pas, au début tu dis qu'en l'absence du vide, donc en cas de contact si je comprends bien, la température est continu, puis à la fin tu me dis qu'il y a une discontinuité de la température à l'interface, alors qu'elle est censé être continue ?

Ensuite tu m'as aussi dis que le vecteur densité de flux thermique est continue, donc que le gradien est discontinue, mais ce n'est pas le contraire qui se produit ? Si nous avons une fonction continue, ici le vecteur densité thermique, alors en face c'est continue, donc son gradien aussi non ?
Et puisque le gradien serait continu, alors son integrale, qui serait T ici, est de classe C1 donc continu non ?

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:17

Tu ne m'as pas bien lu !
Je n'ai jamais parlé de discontinuité de température mais de discontinuité du gradient de la température.
Prends le cas simple de la conduction unidirectionnelle en régime quasi permanent suivant Ox.
Dans le milieu 1 : T est une fonction affine de x avec :

\overrightarrow{j_{th}}=-\lambda_{1}\left(\frac{dT}{dx}\right)_{1}\cdot\overrightarrow{u_{x}}
Dans le milieu 2 :

\overrightarrow{j_{th}}=-\lambda_{2}\left(\frac{dT}{dx}\right)_{2}\cdot\overrightarrow{u_{x}}

\lambda_{2}\left(\frac{dT}{dx}\right)_{2}=\lambda_{1}\left(\frac{dT}{dx}\right)_{1}
Puisque, a priori : 12 , à l'interface, il y a discontinuité du coefficient directeur, pas de la température. Si l'interface est d'abscisse x1, l'allure de la courbe T = f(x) peut être la suivante :

[Transfert thermique] Continuité de la température ?

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:26

D'accord, dans ce cas là tu ne parles pas de continuitè mathematique mais de continuité physique !

Du coup la température est toujours continue, merci ! Mon prof avait dis que ce n'était pas le cas j'avais un doute car les bouquins disaient le contraire !

Est-ce que tu pourrais m'expliquer comment c'est possible que le gradient de la temperature est discontinue alors que le vecteur de densité de température est continue ? A moins que tu ne parlais pas de la continuité mathematique, mais physique ( ie le coefficient directeur reste le même )

Est-ce que le flux de densité thermique est continu au sens mathematique ou au sens physique du terme ?

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:33

C'est la discontinuité de la conductivité thermique à l'interface qui provoque la discontinuité du gradient.

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:36

Ok donc si je résume bien, tout est continue sauf à l'interface où le coefficient change.
Mais le point de discontinuité est au niveau de l'interface au bout de droite, ce n'est pas une discontinuité où le point serait je ne sais où par exemple, c'est bien ça ?

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:43

Restons dans le cadre de la conduction  unidirectionnelle en régime quasi permanent ou permanent.
Soit une section droite du conducteur d'abscisse X1 quelconque et d'aire S. Je note (1) le conducteur en x<X1 et (2) le conducteur en x>X1.
La conservation de l'énergie impose que, à chaque instant, la puissance cédée à (2) par (1) est la puissance reçue par (2)
Il y a donc continuité de la puissance thermique en x = X1 :
S.jth(X1-)=S.Jth(X1+) ...

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:48

Sur ma courbe, il y a bien continuité en x=X1 de T et discontinuité de dT/dx..
J'ai "arrêté" le tracé de façon arbitraire... Pour faire quelque chose de plus précis, il faudrait connaître la situation physique de l'extrémité droite du conducteur mais cela n'a rien à voir avec la question que tu te poses.

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:53

D'accord, donc pour résumer :

-La temperature est continue
-Le gradiant et le vecteur densité de flux thermique sont discontinues à l'interface.

C'est bien ça ?

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 16:55

Et sinon le gradiant et le vecteur densité de température est continue aux autres points

Posté par
vanoise
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 18:53

Citation :
Le gradiant et le vecteur densité de flux thermique sont discontinues à l'interface.

Non !
toujours : continuité de  \overrightarrow{j_{th}}=-\lambda.\overrightarrow{grad}\left(T\right) : cela est une conséquence directe de la continuité de la puissance thermique (flux thermique dans ce contexte).
Si constant ou fonction continue des coordonnées d'espace : continuité du gradient de la température.
Si discontinuité de (changement de nature du conducteur), discontinuité du gradient de la température mais toujours continuité de la densité de flux thermique. Dans mon message de 16h41, j'ai démontré, certes dans un cas particulier : jth(X1-)=jth(X1+)...

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 19:36

D'accord, merci !

Posté par
Xardas45
re : [Transfert thermique] Continuité de la température ? 11-01-17 à 19:37

Donc tout continue, sauf le gradiant si on change de conducteur !

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