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Transfert thermique

Posté par
Physical111 23-10-24 à 21:20

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Un réservoir contient 3m3 d'eau chaude à Ti=80°C. Il est parfaitement calorifugé sauf sur une
partie dont la surface est S=0.3m2
. On constate qu'où bout de ∆t=5 heures, la température de
l'eau a baissé de 0.6°C quand la température ambiante est de 20°C. En supposant que la
capacité calorifique du réservoir est de 103 kcal/°C.
1°- Calculer la quantité de chaleur perdue en 5 heures.
2°- Calculer le flux de chaleur à travers le couvercle.
3°- Déduire la densité de flux thermique à travers le couvercle.
4°- Calculer la résistance thermique du couvercle.
5°- Calculer le coefficient global de transmission thermique.
6°- Donner l'expression de la température de l'eau en fonction du temps Teau(t).
7°- Que se passerait-il au bout de 1 jour et 10 jours ?
Mes réponses :
1) Q(t=5h)=mCT
=*V*Cp*T
=103*3*103*0,6=1,8*106 kcal

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 23-10-24 à 21:41

Bonsoir
Ton professeur raisonne encore en calories ? Cette unité est sortie du système d'unités Internationales depuis bien longtemps...
Cela dit : bonne méthode pour 1. Tu peux justifier ton application numérique ? Que proposes tu pour la suite ?

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 23-10-24 à 21:47

Bonjour
J'ai utilisé la masse volumique de l'eau et le volume du réservoir, la capacité calorifique du réservoir et la différence température qui a de -0,6°C  entre 5h et 0h normalement
Je sais pas si c'est juste cette application numérique
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 23-10-24 à 21:55

La quantité de chaleur perdue est celle perdue par l'eau et celle perdue par le réservoir. Quelle est la capacité thermique de l'ensemble {eau, réservoir} ?

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 23-10-24 à 22:54

J'espère me tromper mais tu ne confondrais pas,par hasard, capacité calorifique du réservoir et capacité calorifique massique de l'eau ?

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 09:38

Bonjour
Capacité calorifique de l'eau ≈1kcal/°C
Capacité calorifique du réservoir=103kcal/°C
La masse c'est m=eau*V=103*3 kg
Q(t=5h)=\left( m*(C_{eau}+C_{réservoir})\right)*(T_{eau}(5h)-T_{eau}(0h))
Avec T(5h)=-0,6°C et T(0h)=0

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 24-10-24 à 11:10

Q=C.T
où C désigne la capacité calorifique de l'ensemble.
C= C réservoir +Ceau
C réservoir =103kcal/°C
Ceau=meau.ceau
m eau=3.103kg
c eau =1kcal.kg-1°C-1 : capacité calorifique massique de l'eau, à ne pas confondre avec la capacité calorifique. Attention aussi aux unités.

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 13:24

Bonjour,
1) Q(t=5h)=Ct=(C réservoir +Ceau)*(Teau(t=5h)-Teau(0h))=\left(10^3 kcal/°C +3* 10^3*1kcal.kg^{-1}*C^{-1}\right)*(-0,6°C)=-2400kcal=-2400*4,185kj=-10 044kj
2)
\phi(5h)=\dfrac{Q(5h)}{\Delta t}=\dfrac{-2,4*10^{3}kcal}{5h}=-480kcal/h=-480*\dfrac{4185J}{60*60s}=-558W
3)
\varphi (5h)=\dfrac{\phi(5h)}{S}=\dfrac{-480kcal/h}{0,3m^2}=-1600*\dfrac{4185}{3600}=-1860W/m²
4) R_{th}=\dfrac{\Delta T}{\phi}=\dfrac{T_{air}-T_{eau}(5h)}{\phi(5h)}=\dfrac{20-(80-0,6)}{}
R_{th}=\dfrac{\Delta T}{\phi}=\dfrac{T_{air}-T_{eau}(5h)}{\phi(5h)}=\dfrac{20-(80-0,6)}{-480}=0,12375°C*h/kcal=0,1064°C/W
5) h=\dfrac{1}{R_{th}S}=\dfrac{1}{0,12375*0,3}=26,93kcal/(m²*h*°C)=31,32W/(m²*°C)
6) on suppose que Rth=cte
\phi(t)=\dfrac{T_{air}-T_{eau}(t)}{R_{th}}=mc\dfrac{dT}{dt}=mc\dfrac{d\left( T_{eau}(t)-T_{air}\right)}{dt}
•T_{eau}(t)-T_{air}=\left( T_{eau}(0)-T_{air}\right)e^{-\dfrac{t}{R_{th}mc}}
(Integral entre 0 et t )
J'ai une question s'il vous plaît :
la masse m est de l'eau =V=103*3 kg
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 24-10-24 à 15:10

Tu sais sûrement que la masse d'un litre d'eau vaut un kilogramme et que 1m3=103L. Dans ces conditions :
eau=1kg/L=103kg/m3
meau=eau.Veau=103.3=3.103kg
Quelques remarques :
1° : Tu navigues sans arrêt entre unités du système international et calories. Le plus simple aurait été d'utiliser systématiquement le système d'unités internationales en posant dès la première question :
1kcal=4185J (J majuscule car Joule est le nom d'un scientifique).
2° : l'énoncé demande à la première question la quantité de chaleur perdue. La formule Q=C.T est algébrique. Elle conduit à une valeur négative mais la valeur demandée est la valeur absolue : Q=10,04MJ.
3° : en prenant comme sens positif de transfert thermique, le sens intérieur vers extérieur, tu obtiens 558W.
4° : pour les questions 4 et 5 : tu obtiens les résultats attendus je pense par ton professeur mais je trouve étrange de ne pas tenir compte de la loi de Newton sur la convection. Négliger le phénomène sur la paroi interne est une bonne approximation mais pour la paroi extérieure, c'est autre chose. D'ailleurs, la lettre "h" est le plus souvent utilisée pour la constante de Newton, pas pour le coefficient global de transmission.
5° : je me demande si tu n'as pas recopié une solution sans tout comprendre car, pour la question 6, la quantité élémentaire de chaleur algrébiquement reçue par le système {eau,réservoir} s'écrit :
Q=C.dT, or nous avons vu à la première question :
C=Créservoir+Ceau. Cela revient à remplacer "mc" par "C".

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 18:15

Donc la capacité calorifique du question 6 est de l'eau Ceau=mc=3*103 kcal/°C?
Merci

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 18:28

Bonsoir à tous,
Merci pour ces remarques importantes
Donc pour la question 6
*Rth*mc=0,12375*3*103 heures
Et la Teau(0)=80°C
Tair=20°C
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 24-10-24 à 19:37

Citation :
Donc la capacité calorifique du question 6 est de l'eau Ceau=mc=3*103 kcal/°C?

Non : il faut raisonner sur la variation de température du système global {eau, réservoir}. Je pose T=Teau pour alléger l'écriture. L'équation différentielle vérifiée par T s'écrit :

C\cdot\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{air}}{R_{th}}

Soit :

\frac{dT}{dt}+\frac{T}{C.R_{th}}=\frac{T_{air}}{C.R_{th}}

avec : C=4.103kcal/°C . A toi de choisir le système d'unités le plus cohérent possible.

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 20:20

Bonjour
Donc Rth*C=0,12375°C*h/kcal*4*103 kcal/°C=495h
D'où :
T_{eau}=20+60e^{\dfrac{-T(h)}{495}}
Avec Tair=20°C et Teau(0)=80°C
7)
t=1jour=24h : Teau(24h)=77,16°C
t=10jour=240h;Teau(240h)=56,947°C
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 24-10-24 à 21:14

En utilisant la valeur de la résistance thermique à t=0, donc en raisonnant sur un écart de température de 60°C et non 59,4°C comme toi, j'obtiens une constante de temps :
=Rth.C=500h. Sans doute aussi quelques arrondis dans les calculs successifs ?
PS : calculer la résistance thermique en raisonnant sur le flux thermique moyen sur les cinq premières heures plutôt que sur le flux thermique instantané à la date t=0 te semble-t-il une bonne approximation ?

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 22:06

Bonsoir
J'ai utilisé la résistance thermique Rth calculer dans la question 4
Je comprends pas
Avec T(0h)= 0 (question 1)

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 24-10-24 à 22:34

A la date t=0, la température de l'eau est T(O)=Ti=80°C. A cette date, la résistance thermique est :

R_{th}=\frac{T_{i}-T_{air}}{\phi}

Approximation à justifier ensuite : la valeur initiale du flux thermique  est très proche de la valeur du flux thermique moyen pendant les cinq premières heures : ϕ=480kcal/h.

R_{th}=\frac{T_{i}-T_{air}}{\phi}=\frac{80-20}{480}=0,125{h.^\circ}C/kcal

D'où la constante de temps :

\tau=R_{th}.C=0,125*4.10^{3}=500h

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 24-10-24 à 23:06

Bonjour
Donc je vais pas prendre en considération la remarque de l'énoncé et je quote:

Citation :
On constate qu'où bout de ∆t=5 heures, la température de
l'eau a baissé de 0.6°C quand la température ambiante est de 20°C

Vous voulez dire que cette phrase là est valable juste pour la 1er question, nous avons dans cette question là que Teau(5h)=0,6°C et Teau(0)=0
Cependant pour la question 4 je vais pas prendre ici en considération la 0,6°C du baisse
La température de l'eau en 0h en 6 question est différent par rapport à la 1er question
En 6 question Teau(0)=80°C
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 25-10-24 à 11:45

Citation :
Vous voulez dire que cette phrase là est valable juste pour la 1er question, nous avons dans cette question là que Teau(5h)=0,6°C et Teau(0)=0

Bien sûr que non !
T(0)=Ti=80°C
pour t=5h : T(5h)=80-0,6=79,4°C
Ton message du 24-10-24 à 20:20 est globalement correct. J'ai juste fait remarquer que la constante de temps vaut 500h plutôt que 495h mais cela ne change pas grand chose !
La solution de l'équation différentielle est , en posant T=Teau :

T=\left(T_{i}-T_{air}\right).e^{-\frac{t}{\tau}}+T_{air}

Ce qui donne pour T mesurée en °C et t en heures :

T=60.e^{-\frac{t}{500}}+20

Posté par
Physical111re : Transfert thermique 25-10-24 à 12:36

Bonjour

Citation :
T(0)=Ti=80°C
pour t=5h : T(5h)=80-0,6=79,4°C

Vous avez raison je dis n'importe quoi
Pour la question 7)
•t=1jour=24h :Teau(24h)≈77,19°C
•t=10jour =240h;Teau(240h)=57,13°C
Contrairement à ma réponse précédente
Citation :
7)
t=1jour=24h : Teau(24h)=77,16°C
t=10jour=240h;Teau(240h)=56,947°C

Lorsque =495h
Merci

Posté par
vanoisere : Transfert thermique 25-10-24 à 13:04

Vus les différentes approximations utilisées, on peut se contenter d'arrondir à trois chiffres significatifs.
Les deux constantes de temps étant très peu différentes, les deux méthodes conduisent à des résultats très proches.


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