Pour répondre, il manque la température ambiante et même avec on peut encore discuter.

Bonjour
Une méthode simple donnant un ordre de grandeur. En considérant le vecteur  densité de flux thermique perpendiculaire à la paroi, tu peux exprimer le fait que la norme de ce vecteur est la même dans l'isolant qui constitue le gobelet et à l'interface extérieure isolant air. Dans l'isolant, la loi de Fourier conduit à :


avec : =2.10^-2W.m^-1.K^-1
e : épaisseur de l'isolant
T_liquide=100°C ; T_surface=25°C
La loi de Newton appliquée à l'interface isolant air conduit à

la constante de Newton d'un interface solide gaz en absence de vent ou de ventilation est de l'ordre de
h=10W.m^-2.K^-1
T_air dépend de la saison. En prenant 20°C, le calcul conduit à :


Evidemment, l'été, où l'air ambiant est plus chaud, la température de surface sera plus élevée. S'il s'agit bien de fabriquer un gobelet qui ne "brûle" pas les doigts lorsqu'on y verse du café chaud, il faut choisir pour T_liquide une valeur nettement inférieure à 100°C.
Un calcul plus précis nécessiterait de connaître l'épaisseur du gobelet et sa conductivité thermique.

Whoua merci pour cette réponse !
Le but de ce projet est de chauffer de l'eau avec le moins d'energie possible, donc on cherche a eliminer un maximum de perte au niveau du recipient.
Le gobelet utilisé sera surement un gobelet type ceux pour les thermos

Petit complément pour tenir compte de ton dernier message :
Pour vraiment minimiser les pertes thermiques il faut un récipient très bien isolé (très faible conductance thermique) et là : la bouteille thermos est imbattable : le meilleur isolant thermique que l'on connaisse est évidemment le vide même partiel.
Deuxième remarque : j'ai raisonné précédemment sur la densité de flux thermique, c'est à dire la puissance thermique perdue par unité de surface. Minimiser j_Q est une très bonne chose mais il faut aussi, à volume donné, choisir une surface de contact avec l'air la plus faible possible. Pour prendre un contre-exemple extrême : choisir un long tube de faible section serait une très mauvaise idée !

Si le récipient est un gobelet sans couvercle, prendre la précaution d'estimer la perte de chaleur vers le haut (là où il n'y a pas d'isolant solide)

Il ne servira pas à grand chose d'augmenter trop fortement l'isolation latérale si les pertes latérales (à travers l'isolant) sont déjà petites vis à vis de la perte par le haut.

Dans un gobelet "normal", la surface latérale vaut environ 4 fois la surface du haut.

Il y a aura un couvercle, lui aussi en polyurethane
Le gobelet en question fera 20cL de volume, et en gros, on le mettra dans le polyurethane, on posera un couvercle et on mettra un thermoplongeur dedans
On voulait juste avoir une idée de si il fallait mettre 10cm de polyurethane tout autours ou seulement 3.

Avec les nouvelles infos, il me semble qu'il manque une précision, c'est quel est l'ordre de grandeur de la constante de temps de refroidissement qui est désirée ?

Et à partir de cette info, on pourrait estimer l'épaisseur d'isolant à mettre.

Ceci n'a plus alors grand chose à voir avec la manière dont l'énoncé initial a été posé, mais ne serait-ce pas plus en adéquation avec ce qui est réellement attendu ?
  

Comment je determine la constante de temps de refroidissement?

En notant C la capacité thermique totale du contenant du gobelet (celle de l'eau plus celle du thermoplongeur plus celle du capteur de température), le premier principe de la thermo appliqué à ce système fermé entre les instants de date t et t+dt s'écrit :



En appalant T la température du liquide intérieur à la date t cela donne :



où P_J est la puissance thermique fournie par le thermoplongeur et G la conductance totale du gobelet (isolation extérieure et couvercle compris).

Mesures possibles : à P_J=0 introduire de l'eau chaude puis étudier la courbe T = f(t). Tu vas obtenir une exponentielle décroissante dont la constante de temps te fournira le rapport G/C. Ensuite, si PJ est connue, la résolution de l'équation différentielle te permettra de prévoir la durée pour obtenir une température donnée à partir d'une température initiale connue.

"Comment je determine la constante de temps de refroidissement?"

On calcule la résistance thermique globale (en °C/W), soit Rth
On calcule la capacité thermique de l'ensemble (en °C/J), soit Cth

et Tau = Rth/Cth (en s)

Bonsoir  victorb
Attention au dernier message de JP. Il contient des erreurs. Une capacité thermique est un rapport (quantité de chaleur sur variation de température.) Il se mesure en J/K ou J.°C^-1. L'expression de la constante de temps est fausse.
j'ai démontré juste au dessus, l'équation différentielle  du premier ordre vérifiée par la température T du liquide. Au niveau école d'ingénieur, tu es sûrement capable d'en déduire sans aide extérieure la constante de temps :


en posant R=(1/G) : résistance thermique.
Le calcul de la conductance thermique (ou de la résistance thermique) de l'ensemble est assez délicat. Je veux bien t'aider si tu le juges utile mais il y aura nécessairement de grosses approximations. Une détermination expérimentale est en revanche assez facile avec du matériel assez basique.

Désolé, j'ai commis une inversion dans une formule. Je reprends pour être plus clair.
L'équation différentielle démontrée plus haut peut se mettre sous la forme :


Les trois termes sont homogène sà un quotient température sur temps. (C/G) est donc homogène à un temps. La constante de temps est :


J'aurais dû mieux me relire avant de poster... Désolé !

Je suis en voyage cette nuit avec un simple portable.  Pas top pour les formules  mais cela laisse du temps pour réfléchir.
Peux-tu en dire plus sur ton niveau en thermo? Te fournir plein de formules que tu auras de la peine à comprendre...
Quel est exactement le but de tout cela ? Ton premier message m'a conduit à penser qu'il s'agissait juste de pouvoir tenir à la main sans se brûler un gobelet d'eau bouillante.
Tu as parlé ensuite de minimiser les pertes. Cela passe par une augmentation de l'isolation thermique du gobelet mais cela a ses limites. Avec une masse d'eau aussi faible, l'énergie thermique absorbée par l'isolant risque de ne pas être négligeable, ce qui complique la théorie.  J'ignore la puissance de chauffage du thermo plongeur mais la durée de chauffage risque d'être très courte. En revanche se fixer pour objectif : une fois la température de 100°C  atteinte, comment faire en sorte qu'elle reste supérieure à X °C pendant la durée T est assez facile à théoriser.
La validation expérimentale de la théorie est-elle prévue?
Attention : la vaporisation partielle de l'eau compliquerait la situation...

Dans mon message précédent, il faut lire inverse de capacité thermique, mais soit, c'était évident par les unités.

Supposons un gobelet de 200 cL de 8 cm de haut et 2,82 cm de rayon

Soit par exemple un isolant de 1 cm d'épaisseur (de L = 0,02 W/(m.K)

Le flux de Chaleur par la paroi latérale est Phi1 = 2.Pi * h * L * delta T/log(R/r) = 2*Pi*0,08*0,02/log(3,82/2,82).Delta T

Phi1 = 0,033 Delta t (delta T est la différence de température reprise par l'isolant solide)

Le flux de chaleur par le haut et le bas (à prendre ou non suivant le cas) est Phi2 = 2 * 0,02 * Pi * (2,82.10^-2)²/10^-2 * delta T

Phi2 = 10^-2 * delta T

Phi = Ph1 + Ph2 = 0,043 * Delta T (delta T est la diffrence de température reprise par l'isolant solide)

La résistance thermique de l'isolant solide est Rth1 = 1/0,043 = 23,3 °C/W

Si on considère pour l'air : 10W/(m².K)

L'aire (extérieure isolant) est Pi*(3,82.10^-2)² + 2.Pi*3,82.10^-2*10.10^-2 = 0,024 m²

Pour l'air : Rth2 = 1/(10 * 0,024) = 4,2 °/W

La résistance thermique globale est Rth = 23,3 + 4,2 = 27,5 °C/W

La capacité thermique de 0,2 L d'eau (on peut oublier les isolants) = 0,2 * 4180 = 836 J/°C

--> l'eau varie de température avec : 1/836 = 0,0012 °C/J (calcul inutile, mais va dans les habitudes de présentation pour calculer la constante de temps).

Tau = 27,5/0,0012 = 23000 s = 6,38 h (soit environ 6h 23min)
Et ceci pour un isolant de 1 cm d'épaisseur.
(Calculs non vérifiés ... comme d'habitude)

Il ne sert à rien d'essayer d'être plus précis dans ce genre de calcul.
Sur quoi est posé le gobelet ?
Est-ce dans un local où un flux d'air est renouvelé par la ventilation ?
...

Trop de paramètres si on veut être plus précis ... et un ordre de grandeur est suffisant.

On peut évidemment facilement refaire les calculs et gardant l'épaisseur d'isolant en littéral si on veut.

Attention que même si un tau de plus de 6 h peut paraître long, ce n'est pas forcément suffisant, tout dépend de ce qu'on veut faire.

Si le but est de chauffer l'eau (ou la boisson) par exemple le matin et la boire vers midi ...

On aura, hors chauffage :

T(t) = Ta + (To - Ta).e^(-t/tau)

Avec Ta la température ambiante (par exemple 20°C)
To la température en fin de chauffage (par exemple To = 95 °C)

Et on aurait alors (avec 1 cm d'isolant) : T(t) = 20 + 75.e^(-t/6,38)  (avec t en heures)

Et si t = 5 h (par exemple, pour boire à midi une boisson chauffée le matin), on aurait:
T(5) = 20 + 75.e^(-5/6,38) = 54 °C ... Pas mal dans ce cas, mais il ne faudrait pas vouloir boire plus loin dans l'après-midi  

Sauf distraction. (rien relu)  

Bonjour a tous ! Merci beaucoup pour vos réponse, je suis en train d'étudier toutes vos formules pour comprendre haha ! Je n'ai encore eu aucun cours de thermos donc les seules connaissances que j'ai sont celles de terminal et d'internet

Le projet a pour but de faire bouillir de l'eau (afin de l'utiliser dans des repas lyophilisés) avec un thermos-plongeur (12V 120W). On cherche a avoir la batterie la plus petite possible, donc d'utiliser le moins d'énergie électrique possible et du coup on veut minimiser les pertes de chaleur au niveau du gobelet (pour qu'il chauffe le plus rapidement possible). Donc l'idée était de créé un récipient suffisamment isolé pour que la chaleur ne se dissipe pas dans l'air.

Merci encore pour le temps que vous passez a m'aider !

De l'eau qui sort du robinet est à environ 15°C

Si on veut la chauffer jusque 100°C (sans vapeur), on a Delta T = 100-15 = 85°C

L'énergie hors perte pour chauffer 0,2L de cette eau est E = 4180 * 0,2 * 85 = 71060 J

Ce qui avec P = 120 W --> durée = 71060/120 = 592 s (si pas de pertes)

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Avec Ta = 20°C (tampérature ambiante) et T(0) = 15°C (eau sui sort du robinet)

(120 - (T(t) - 20)/27,5) * dt = 4180 * 0,2 * dT(t)

(120,727 - 0,037.T) dt = 836 dT

836 dT/dt + 0,037.T = 120,727

dT/dt + 4,426.10^-5 T = 0,1444

T = 3262 + A.e^(-4,426.10^-5.t)

T(0) = 15 --> 15 = 3262 + A --> A = -3247

T(t) = 3262 - 3247.e^(-4,426.10^-5.t)

T = 100°C à l'instant t1 tel que :  3262 - 3247.e^(-4,426.10^-5.t1) = 100

t1 = 599 s (presque 10 min)

Donc, avec 1 cm d'épaisseur d'isolant, il faut seulement 7 s de plus pour chauffer jusque 100 °C que si pas de pertes (rendement d'environ 100 * 592/599 = 98,8 %)
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Toutes erreurs incluses.  

Hum... c'est bizarre, quand on a fait nos tests avec un gobelet en carton on etais a 14min et avec un gobelet de thermos on a diminué par 2 (environ 7 min). Et toi tu trouve 600s pour chauffer l'eau (valeur théorique sans perte)

Et au final tes calculs permettent de dire que l'isolant ne va pas beaucoup m'aider ou que 1cm suffisent?

Quatre remarques
1° : 1cm d'isolant plutôt que 3cm conduit à une température de surface latérale d'environ 33°C au lieu de 25°C pour une température ambiante de 20°C. Encore supportable pour une manipulation du gobelet à la main.
2° Pour savoir si l'épaisseur d'isolant portée à 3cm est rentable économiquement, intègre l'équation différentielle que je t'ai fournie hier à 18h38 avec P_J=120W. Tu pourras calculer la durée t₁ nécessaire pour que la température de l'eau passe de la température ambiante (20°C) à 100°C. L'énergie électrique dépensée sera le produit P_J.t₁ (en bonne approximation).
Fais le calcul avec e=1cm puis le calcul avec e=3cm. Tu verras si le surcoût financier dû à l'augmentation d'épaisseur est économiquement justifié ou non.
3 ° Ne pas oublier d'être attentif à arrêter le chauffage avant que la vaporisation ne commence : la vaporisation d'un gramme d'eau consomme une énergie de 2265J environ alors que l'augmentation de température de 80°C de 1g d'eau également ne consomme que 334J environ.  La vaporisation, à masse égale, est beaucoup plus gourmande en énergie que l'élévation de température. La principale source d'économie d'énergie est peut-être là !
4° On parle de résistance thermique et de conductance thermique car il existe une analogie de propriétés entre intensité et flux thermique d'une part, différence de potentiels et différence de températures d'autre part.
Par exemple, pour la surface latérale (indice 1), le flux thermique traverse successivement l'isolant (indice i) et l'interface isolant - air (indice a). On peut donc considérer la résistance thermique de la paroi latérale comme une somme de deux résistances :

Même chose pour le fond (indice 2) et pour le couvercle (indice 3).
Ensuite, la puissance thermique totale perdue (flux thermique total) est la somme des trois flux thermiques à travers les trois parois pour un même écart de températures (T_liquide-T_air). Il est clair dans ces conditions qu'il faut ajouter les trois conductances thermiques, ce qui revient à considérer les trois résistances thermiques précédentes en parallèle. La situation est donc analogue au circuit dessiné ci-dessous à gauche. Si j'ai bien suivi le raisonnement de JP, il calcule séparément la résistance due à l'isolant et la résistance due à l'interface solide-air avant de les additionner. Il mène donc son calcul comme si le circuit dessiné à gauche était équivalent à celui dessiné à droite, ce qui, évidemment, est faux dans le cas général.
Heureusement, l'erreur commise a, dans ce cas particulier, très peu d'incidence sur le résultat numérique final. En effet, les trois parois étant isolées de manière identique (même épaisseur d'un même isolant), les températures des trois surfaces extérieures sont certainement très proches. Cela revient à imaginer que les potentiels des trois points  A, B et C du schéma analogue sont très proches. Or : en cas d'égalité des trois potentiels, les deux schémas sont équivalents... L'erreur est donc dans ce cas particulier très faible et bien inférieure aux autres erreurs dues aux diverses simplifications.
Au risque de passer pour un "pinailleur", je tiens tout de même à signaler cette erreur de méthode : un étudiant qui voudrait reprendre le raisonnement de JP en l'appliquant à des parois isolées de façon très différentes , obtiendrait un résultat erroné !

Pas possible avec les données que j'ai utilisé.

Sans perte, pour faire passer 200 g d'eau de 15 à 100 °C, il faut : Q = 4180 * 0,2 * (100-15) = 71060 J

Si la résistance apporte 120 W, la durée de chauffe est (sans pertes) : t = 71060/120 = 592 s (un poil moins que 10 min)

Tu ne peux donc pas arriver à 7 min dans ces conditions.

Evidemment si on change les conditions, c'est une autre affaire.

Par exemples :

- Si l'eau de départ est plus chaude que 15°C
- Si il y a moins d'eau que 0,2 L
- Si la température finale est en dessous de 100°C
- Si la résistance chauffante fournit plus que 120 W
- Si la température ambiante est très élevée (air dans la pièce)

N'importe laquelle de ces hypothèses et a fortiori une combinaison de ces hypothèses feront diminuer le temps nécessaire pour chauffer.

En réponse à Vanoise,

Il faut apprendre à tenir compte du cas particulier étudié et pas vouloir à tout prix couvrir des cas hypothétiques qui n'ont rien à voir avec ce qui est demandé... Et cela on ne sait pas le faire dans l'enseignement.
Si en Physique (pratique), on n'arrive pas à négliger ce qui est négligeable et qu'on perd du temps à se perdre dans des précisons inutiles ... on se fait virer.
Evidemment, pour y arriver, il faut avoir le feeling nécessaire sans être obligé de tout calculer pour voir si on aurait pu négliger... et cela non plus ne s'enseigne pas.

La méthode que j'ai utilisée est parfaitement adéquate pour le cas étudié et il n'en faut pas plus.

En résumé.

Avec 1 cm d'isolant :

- Il faudra pratiquement 10 min pour chauffer 200 g d'eau dans le gobelet et les conditions que j'ai décrits et cela correspond à une surconsommation de seulement 2 % de la batterie par rapport à un cas sans perte.

- La constante de temps de refroidissement est d'environ de 6h 20 min.

- La température max extérieure de l'isolant est (dans les conditions décrites) de environ 20 + 80 * 4,2/(23,3 + 4,2) = 32 °C (qui va un peu augmenter si on met les doigts dessus)... sans risque de se brûler.

Alors merci beaucoup !
Je vais fabriquer l'isolant et faire tout les tests dans la semaine, je rajouterai un petit message ici pour vous donner mes resultats et vous dire si effectivement, le temps de chauffe à diminuer !

Merci a tous !

Bonsoir à tous,