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trajectoire corps qui plonge dans l'eau

Posté par
pepeben 07-12-23 à 11:54

Bonjour
un objet de masse m plonge dans l'eau avec une vitesse initiale v[0]. Je souhaite décrire sa trajectoire le long d'un axe vertical y orienté dans le sens de la vitesse.
les forces présentes dès lors qu'il touche l'eau:
- poids m.g,  g =  accélération pesanteur
- force de frottement k.s.(dy/dt)[2],  k = constante,  s= surface supposée constante présenté par l'objet,  t=temps
- force d'Archimede = m.g.s.y
Cela me donne, sauf erreur de ma part, l'équation de la dynamique:

m.d[2]y/dt[2]= m.g -k.s.(dy/dt)[2] - m.g.s.y

Je n'ai pas réussi à résoudre cette équation différentielle  d'ordre 2
Est-elle résolvable?
Merci d'avance pour votre éclairage

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 07-12-23 à 13:18

petit correctif:
force Archimède = g.s.y puisque densité de l'eau = 1 (le m est de trop) mais cela n'enlève rien à la teneur de l'équation.

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 07-12-23 à 13:39

Bonjour

Ton équation différentielle peut s'écrire sous la forme :

$\frac{dv}{dt}=-\omega^{2}.v^2+K$

On sépare les variables :

$\dfrac{dv}{K-\omega^{2}.v^2}=dt$

Intégrer le terme de droite est évident. Pour le terme de gauche : deux méthodes possibles selon ton niveau en math :

1° : tu est familiarisé avec les fonctions hyperboliques et leurs inverses : tu peux alors te ramener à quelque chose de la forme :

$\int\dfrac{du}{1-u^{2}}$ qui admet une primitive en arctanh(u)

2° : niveau de math plus modeste mais à l'aise avec les logarithmes :

remarquer :
$\\ \dfrac{1}{\left(K-\omega^{2}.v^2\right)}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{K}+\omega.v\right)\left(\sqrt{K}+\omega.v\right)}=\dfrac{A}{\sqrt{K}+\omega.v}+\dfrac{B}{\sqrt{K}-\omega.v}$

L'intégration est facile alors en faisant intervenir deux logarithmes.

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 07-12-23 à 18:24

Petit complément sur la poussée d'Archimède. Son intensité peut s'écrire :

$P_{A}=\rho_{eau}.g.V_{solide}$

La masse du solide a pour expression :

$m=\rho_{solide}.V_{solide}$

D'où le rapport :

$\frac{P_{A}}{m}=\frac{\rho_{eau}}{\rho_{solide}}\cdot g=\frac{g}{d}$

où d désigne la densité du solide par rapport à l'eau. D'où l'équation différentielle vérifiée par la vitesse (axe vertical orienté vers le bas).

$m\frac{dv}{dt}=mg-P_{A}-k.S.v^{2}$

Soit en divisant par m :

$\frac{dv}{dt}=g.\left(1-\frac{1}{d}\right)-\frac{k.S}{m}\cdot v^{2}=K-\omega^{2}.v^{2}$

avec :

$K=g.\left(1-\frac{1}{d}\right)\quad;\quad\omega=\sqrt{\frac{k.S}{m}}$

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 08-12-23 à 13:23

Bonjour

Je crois que je me suis mal exprimé : le scénario qui m'intéresse et dont l'analyse me pose pb c'est celui où le corps s'enfonce dans l'eau c-a- d le temps pendant lequel la P_A ( _eau.S.y) augmente en fonction de y jusqu'à atteindre son max. (y = longueur l du corps). Il me semble que l'équation qui décrit cela s'écrit :
m.d²y/dt² = m.g - _eau.S.y - k.S.(dy/dt)²
et que je suis incapable de résoudre. Y-a-t-il une solution via le calcul classique?

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 08-12-23 à 13:49

Le problème que je t'ai présenté qui correspond au solide totalement immergé n'est déjà pas très simple. Alors, pour la phase transitoire... A ma connaissance, il n'existe pas de solution utilisant les fonctions mathématiques usuelles. Il faut se contenter d'une simulation numérique informatisée.

Posté par re : trajectoire corps qui plonge dans l'eau 09-12-23 à 12:35

Vu . Merci pour votre aide

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