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Trajectoire, choix de repère et calcul vectoriel
Bonjour j'ai un exercice qui me pose soucis...
Soit R un référentiel et R (O,ex,ey,ez) un repère cartésien associé à R. On s'intéresse à la trajectoire d'un point M dans R au cours du temps. Le vecteur position r=OM est donné dans le repère R par
x(t)=Rocosωt
y(t)=√3/2Rosinωt
z(t)=Ro/2sinωt
où t∈[t0,t1], Ro et ω sont des constantes positives
1 . Calculer la norme de OM à chaque instant.
2.Calculer le vecteur vitesse v, sa norme et OM.v à chaque instant.
Soit ey′=√3/2ey +1/2ez.
3.Représenter ey′dans le plan (ey,ez) et calculer ez′=ex∧ey′.4 .
Calculer ex.ey′,ey′.
ez′,ez′.ex, ainsi que ‖ey′‖ et ‖ez′‖. Conclure sur (ex,ey′,ez′). On note R′(O,ex,ey′,ez′).
Est-ce un repère cartésien de R (direct ou indirect) ?
5 .Dans R′, donner l'expression de la position de M au cours du temps et caractériser sa trajectoire. Déterminer son équation cartésienne.
1.Je fais pour calculer la norme :
norme de OM = 
(Rocos
t)2 + (3/2 Rosint)2) + (Ro/2sint)2)
Et je vois pas comment aller plus loin...
2.Le vecteur v c'est
vx = dérivée de x = -Rosint
vy = dérivée de y = Ro/2cost
vz = dérivée de z = Ro/2 cost
Sa norme : vx2+ vy2 + vz2
Et je vois pas comment aller plus loin.
OM.v = 0
3.ex∧ey' = ez' = 0
4.Tous les produits scalaires font 0. Les normes font toutes 0.
On a un repère cartésien car on a un point fixe, une base orthonormé. Les vecteurs sont fixes et unitaires. En revanche je sais pas comment on détermine si la base est direct ou pas...
Bonjour,
On ne fera pas tout d'un coup ...
1- Il faut simplement expliciter vos carrés, puis regrouper les termes de même dépendance temporelle et enfin appliquer une formule de trigo très classique.
2- Dans vy, faute de frappe : le a disparu. Pour la norme, même technique que 1.
3- Comment avez-vous calculé le produit vectoriel (qui n'est pas nul) ?
4- Les produits scalaires sont bien nuls mais comment les avez-vous trouvés ?
Norme nul, le seul vecteur de norme nul est celui donc toutes les composantes sont nulles, ce n'est manifestement pas le cas de ey', ou alors autre faute de frappe : "les normes font toutes 1" ?
Pour ce qui d'un repère direct xyz, on a , ou avec les trois doigts mais pour cela il faudrait avoir le dessin correspondant à "Représenter ey′dans le plan (ey,ez)"
Remarque de base : ce n'est pas homogène, donc on est sûr qu'il y a une erreur.
est un produit pas une somme.
J'ai compris. norme de OM (au carré) = (Ro^2(cos^2wt + (3/4 + 1/4)sin^2wt))
= Ro^2. Et donc OM = racine de Ro^2 = Ro.
Pour la norme de v : Row
En effet j'ai mal recopié pour vy ainsi que mon produit vectoriel (j'ai lu la réponse d'un autre calcul). Le produit vectoriel que j'ai trouvé est :
(0 racine de 3/2 et 1/2)
Autrement dit ez' = racine de 3/2 ey + 1/2ez.
Pour trouver si c'est une base direct j'ai pas trouvé. J'ai non plus trouvé comment on fait pour donner l'expression de la position de M dans R'...
C'est bon pour ez'.
Pour le côté direct :
- méthode visuelle puisque vous avez un dessin de ey',ez' dans le plan (ey,ez). Vous regardez si l'orientation de ez'/ey' est la même que celle de ez/ey (rotation de 90° de même sens ou non pour passer de l'un à l'autre)
- méthode vectorielle, par définition même du produit vectoriel que puis-je dire du trièdre (ex,ey',ez') si ez′=ex∧ey′ ?
Pour ce qui est de M dans R', expliciter vectoriellement , ey' et ez' devraient apparaitre de manière évidente.
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