Niveau maths spé

Traitement du signal 4

Posté par
Flewer47 03-09-16 à 15:30

Bonjour,

Voici un exercice sur lequel je bloque :

Nous cherchons à enregistrer un concert sur un CD audio en format non compressé afin de ne pas en perdre en qualité. Le son est capté à l'aide d'un microphone, puis filtré par un filtre passe-bas, et enfin numérisé. La fréquence d'échantillonnage d'un CD audio vaut $f_e=44,1kHz$ , et le codage est fait sur 16 bits.

1) Quelle est la gamme des fréquences audibles $[f_m,F]$ ? Quelle fréquence d'échantillonnage minimale doit-on utiliser ? La valeur donnée ci-dessus est-elle convenable ?

2) On n'utilise pas dans un premier temps de filtre anti-repliement. Lors du concert, un signal haute fréquence est enregistré à 43kHz. Cela pose-t-il problème ?

3) On décide d'intercaler un filtre passe-bas anti-repliement. Quelle doit être sa fréquence de coupure idéalement ? Quelle condition son gain doit-il vérifier au-delà de la fréquence de coupure en fonction du nombre de bits de codage ?

4) On envisage une réalisation du filtre anti-repliement en utilisant un filtre de Butterworth d'odre $2n$ : $G(f)=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\dfrac{f}{f_c})^{4n}}}$ . Le filtre doit remplir deux conditions pour être satisfaisant :
(i) Il doit être fidèle dans sa bande passante, ce que l'on traduit par le critère conventionnel : $\dfrac{G_{max}-G(F)}{G_{max}}\leq 0,01$ .
(ii) Il doit empêcher tout repleiment du spectre (cf question 3)).

a) Déterminer l'odre minimal $2n$ du filtre à utiliser, ainsi que sa fréquence de coupure. Qu'en dîtes-vous ?

b) Afin de rendre la réalisation du filtre anti-repliement moins délicate, on envisage maintenant un suréchantillonnage à $f'e=96kHz$ et un codage sur 24 bits (pour une qualité professionnelle). Reprendre ka détermination de l'ordre minimal et de la fréquence de coupure du filtre nécessaire. Commenter.

5) On cherche maintenant à estimer la durée d'enregistrement que peut contenir un CD audio en stéréo.

a) Dans le cas usuel ( $f_e=44,1kHz$ , 16 bits), de combien de bits a-t-on besoin pour enregistrer une seconde de musique ? Quelle durée de concert peut-on enregistrer sur un CD de 700Mo ? (1 octet = 8 bits)

b) Qu'en est-il en qualité professionnelle ( $f_e=96kHz$ , 24 bits) ? Commentaire.

Mes recherches :

1) $f_m=20Hz, F=20kHz$ , $f_e\geq 40khz$ par le critère de Shannon. La fréquence choisie convient donc.

2) Cela pose un problème, on va avoir dans le spectre de fréquence un pic à $f_e-f=1,1kHz$ .

3) On peut choisir la fréquence de coupure à $20kHz$ .
Cependant, je ne vois pas le rapport entre le gain et le nombre de bits...

4) Je ne vois pas comment trouver la fréquence de coupure... L'inégalité peut me donner 2n ou fc mais pas les deux...

Merci pour votre aide !