1)

Référentiel origine à l'endroit du tir, axe des abscisses horizontal, axe des ordonnées vertical vers le haut.
Le plan Oxy contenant la trajectoire du projectile.

vx = Vo.cos(alpha)
Vy = Vo.sin(alpha) - gt

x(t) = Vo.cos(alpha).t
y(t) = vo.sin(alpha).t - gt²/2

x(t) = 200.cos(alpha).t
y(t) = 200.sin(alpha).t - 5t²

t = x/(200.cos(alpha))
y = 200.sin(alpha).x/(200.cos(alpha)) - 5.x²/(200.cos(alpha))²

y = tan(alpha).x - (1,25.10^-4 /cos²(alpha)).x²
C'est l'équation de la trajectoire du projectile.

cible en (X ; 1000)

tan(alpha).X - (1,25.10^-4 /cos²(alpha)).X² = 1000

tan(alpha).X.cos²(alpha) - 1,25.10^-4.X² = 1000.cos²(alpha)

(1/2).sin(2.alpha).X - 1,25.10^-4.X² - 1000.cos²(alpha) = 0

X² - 4000.sin(2.alpha).X + 8.10^6.cos²(alpha) = 0

X = 2000.sin(2alpha) +/- V(4.10^6.sin²(2alpha) - 8.10^6.cos²(alpha))

X = 2000.sin(2alpha) +/- 2000V(sin²(2alpha) - 2.cos²(alpha))

et Xmax est évidemment avec le signe + --->

Xmax = 2000.[sin(2alpha) + V(sin²(2alpha) - 2.cos²(alpha))]

f(alpha) = sin(2alpha) + V(sin²(2alpha) - 2.cos²(alpha))

f '(alpha) = 0 ---> alpha = 0,9553 rad = 54,73°

(X max)max = sin(2*0,9553) + V(sin²(2*0,9553) - 2.cos²(0,9553)) = 2828 m

La cible peut se trouver au point P(2828 ; 1000) et sera atteinte avec alpha = 54,73°
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2)

Reste à voir ce que signifie "moitié de la distance". Si c'est la même altitude mais l'abscisse de la cible divisée par 2, alors le point visé est P'(1414 ; 1000)

On a encore : y = tan(alpha).x - (1,25.10^-4 /cos²(alpha)).x²

et il faut trouver les valeurs de alpha telle que : 1000 = 1414.tan(alpha) - (1,25.10^-4 /cos²(alpha)).1414²

On arrive, sauf erreur à alpha = 0,832 rad ou alpha = 1,355 rad, soit alpha = 47,7 ° ou 77,6°
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Toutes erreurs de calcul incluses. Je n'ai rien vérifié... Et pas l'intention de le faire.

Merci beaucoup !

Encore une question : comment faire pour trouver la vitesse au moment où l'obus touche sa cible ? Je dois calculer le temps au bout duquel ça arrivera ?
Ou alors je dois repartir des équations des coordonnées ?

Pour la vitesse, on peut utiliser les équations donnant la vitesse et la position en fonction du temps et triturer tout cela.

Mais la voie la plus simple est celle de la conservation de l'énergie mécanique du projectile (puisque les frottements sont négligés)

(1/2).m.Vo² = mgh + (1/2).m.V1² (avec h la différence d'altitude entre l'endroit du tir et le point d'impact (donc ici h = 1000 m)) et V1 la vitesse à l'impact).

Vo² = 2gh + V1²
V1² = Vo² - 2gh
V1 = racinecarrée(Vo² - 2gh)
V1 = racinecarrée(200² - 2*10*1000) = 141 m/s
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Le tout toujours à vérifier naturellement.

Bonjouir tous les deux,

curieux, car cet exercice fait partie du sujet pose au concours interne de l'Ecole Navale, dont l'epreuve de physique a eu lieu la semaine derniere. Astria, par hasard aurais-tu passe ce concours ?

Prbebo.

Ah non, pas du tout ! Toi oui ?
C'est curieux ! Eh bien en tout cas je n'aurais pas réussi le concours...

Je précise (un peu tard) que je n'ai pas le droit d'utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse de l'obus.

J-P, ce n'est pas plutôt  :

(1/2).sin(2.alpha).X - 1,25.10^-4.X² - 1000.cos²(alpha) = 0

X² - 2,5.10⁴.sin(2.alpha).X + 8.10⁶.cos²(alpha) = 0

non ?

Non.

(1/2).sin(2.alpha).X - 1,25.10^-4.X² - 1000.cos²(alpha) = 0

-1,25.10^-4.(X² - (1/2).sin(2.alpha)/(1,25.10^-4) + 1000.cos²(alpha)/(1,25.10^-4)) = 0

X² - (1/2).sin(2.alpha)/(1,25.10^-4) + 1000.cos²(alpha)/(1,25.10^-4) = 0

X² - 4000.sin(2.alpha).X + 8.10^6.cos²(alpha) = 0

Merci pour ton aide J-P, je crois que j'ai compris.
Merci beaucoup ! ^^