Niveau maths sup

[Thermodynamique] système gazeux fermé

Posté par
MisterDonkey26 25-05-19 à 18:31

Bonjour,

j'ai trouvé un exercice de thermodynamique plutôt simple mais j'aimerais le faire correctement en justifiant bien.

Voici le sujet :
Soit un système gazeux fermé
A l'état initial
$T_0 = 218 K$
$V_0 = 1 l$
$P_0 = 1 bar$
A l'état final
$T_1 = ?$
$V_1 = 3 l$
$P_1 = ?$

a) Pour une transformation isotherme, calculer $P_1$ , $T_1$ , $W$ et $\Delta S$
b) De même pour une transformation adiabatique réversible

Question a)
Transformation isotherme donc la température est constante => $T_0 = T_1 = 218 K$

Ensuite en utilisant la relation des gaz parfaits on a : $P_0V_0 = nRT_0$
Or $T_0 = T_1$ , donc $P_0V_0 = nRT_1$ .

Ainsi $P_1 = \frac{P_0V_0}{V_1}$ = $0,3 bar$

Pour calculer le travail on utilise celui des forces de pression : $\delta W=-PdV$
Et on remplace P avec la loi des GP : $\delta W = - \frac{nRT}{V}dV$
$\delta W = -P_0V_0\frac{1}{V}dV$
On intègre : $W = -P_0V_0ln(\frac{V_1}{V_0}) = 1,1.10^2 J$

$dS = \frac{\delta Q}{T_0}$ Pour une transformation isotherme mais je ne saurais pas le justifier.

$\Delta S = \frac{Q}{T_0}$
D'après le premier principe de la thermodynamique : $\Delta U = W + Q$
Or $\Delta U = C_v\Delta T$ donc $\Delta U = 0$ car la transformation est isotherme
Ainsi $Q = -W$
$\Delta S = -\frac{P_0V_0ln(\frac{V_1}{V_0})}{T_0} = -0,5 J.K^{-1}$

Question b)
La transformation est adiabatique réversible donc on peut utiliser la loi de Laplace :
$P_0V_0^{\gamma} = P_1V_1^{\gamma}$
Aucune information sur le gaz pour savoir quelle valeur de $\gamma$ prendre donc je ne mettrais que les applications littérales.

$P_1 = P_0 (\frac{V_0}{V_1})^{\gamma}$

La loi de Laplace peut aussi s'écrire sous cette forme : $T_0V_0^{\gamma - 1} = T_1V_1^{\gamma - 1}$
$T_1 = T_0(\frac{V_0}{V_1})^{\gamma - 1}$

$\delta W = -PdV$
$\delta W = -PV^\gamma \frac{dV}{V^\gamma}$
Or $PV^\gamma = constante$
Donc $W = -PV^\gamma (\frac{V_1^{1 - \gamma} - V_0^{1 - \gamma}}{1 - \gamma})$
$W = \frac{P_1V_1 - P_0V_0}{\gamma - 1}$

$\Delta S = S_{creee} + S_{recue}$
Pour une transformation réversible : $S_{creee} = 0$

$S_{recue} = \frac{Q}{T}$
Or pour une transformation adiabatique : $Q = 0$
Donc $\Delta S = 0$

Au final c'est juste pour le calcul de $\Delta S$ lors d'une transformation isotherme que j'ai du mal à justifier.

Posté par re : [Thermodynamique] système gazeux fermé 25-05-19 à 21:01

Bonjour
Tout cela me parait correct sous réserve de préciser que la transformation isotherme est réversible. Ainsi, l'entropie créée est nulle ; la variation d'entropie se confond avec l'entropie d'échange :

$dS=\frac{\delta Q}{T_o}$
Dans le cas seulement de la transformation isotherme réversible, cela s'intègre en :

$\Delta S=\frac{Q}{T_{o}}$
Une faute de rigueur tout de même : à propos de la transformation réversible adiabatique, tu écris :
$S_{recue} = \frac{Q}{T}$ ce qui conduit à zéro car Q=0 ;
La relation est fausse car la transformation n'est pas isotherme. Il faut écrire dans le cas général :

$\delta S_{re\cedilla{c}ue}=\frac{\delta Q}{T_{ext}}$
où Text désigne la température de la source avec laquelle s'effectue le transfert thermique. Si l'évolution est adiabatique, Q=0 pour chaque étape élémentaire de l'évolution, ce qui conduit à une entropie reçue nulle pour une transformation adiabatique. Il y a plus qu'une nuance...

Posté par re : [Thermodynamique] système gazeux fermé 25-05-19 à 21:06

Merci beaucoup pour ces précisions. Ce qui m'intéresse vraiment c'est comprendre ce que je fais et bien justifier au lieu d'appliquer bêtement des formules sans comprendre.

Posté par re : [Thermodynamique] système gazeux fermé 25-05-19 à 21:32

Tu parles d'or !

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