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Niveau maths sup
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Thermodynamique - Gaz parfait

Posté par
Froware
15-04-18 à 23:11

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice, toute aide apportée est la bienvenue; merci d'avance;

Enoncé de l'exercice :

__________________________________________________________________________________________
On place une certaine masse de gaz parfait dans un
cylindre C d'axe vertical, de section droite constante S = 16
cm2. Un piston de masse M = 48kg, mobile sans frottement, isole ce gaz dans
une colonne cylindrique de longueur l. C et P sont isolés
thermiquement.
La masse M est reliée à une autre masse M' de valeur
variable (initialement M' = M) à l'aide d'une corde passant
par 2 poulies. Ce système mécanique est sans frottements.

Pendant les expériences suivantes, la pression atmosphérique reste égale à 10^5 Pa = 1 bar.

1) Le gaz est en équilibre (1') caractérisé par les valeurs l1' = 1 m, P1' =10^5 Pa et T1'=300K.

En diminuant progressivement la masse M' de M à 0, l'opérateur qui soulève M'
réalise une compression adiabatique infiniment lente de ce gaz qui atteint un nouvel état d'équilibre (P2, V2, T2)

calculer :

a) P2' en Pa, V2' en m^3, et t2' en K,
b) le travail effectué par le gaz pendant la transformation (en joule)
c) les variations d'énergie interne et d'enthalpie qui accompagnent cette compression


__________________________________________________________________________________________


Mes tentatives de réponse :

a) à l'équilibre la pression interne compense la pression externe plus le poids de M,
P2'=10^5+pression due au poids M

or Pression=Force/Surface donc pression due à M =poids/surface
poids = m*g =48kg *9.8

Pression = 48kg *9.8 /0.0016 m^3 = 294 000 Pa
donc P2' = 294000+ 10^5 = 1,294.10^6 Pa

pour V2' :
les trois hypothèses sont réunies pour appliquer les lois de Laplace ( GP, quasi-statique, et adiabatique) sachant que V1= 16cm²*1m =0.0016m^3 :
P1V1^y = P2V2^y on isole V2 et j'obtiens V2= 0.0038 ce qui est supérieur à V1, donc pas possible...

Pour T2 on peut aussi appliquer les lois de Laplace : T1^y.P1y-1 = T2^y.P2^y-1  ?

b) La compression est adiabatique et quasi-statique donc on peut appliquer la formule :
w= -intégrale(PdV) =-nRT * ln(V2/V1) ?

ou le premier principe :

delta (U) = W1,2 = 3/2 * m*(R/M) * (T2-T1) ?

c) on applique le premier principe pour la variation d'énergie interne :
delta(U) = W1,2 = ncvm(Tb-Ta)

et pour l'enthalpie :
delta(H) = ncpm(Ta-Tb) = delta(U+PV)  ... ?


Voilà je suis un peu perdu merci par avance pour votre aide....

Posté par
J-P Correcteur
re : Thermodynamique - Gaz parfait 16-04-18 à 11:15

Citation :
donc P2' = 294000+ 10^5 = 1,294.10^6 Pa


Tu devrais acheter une nouvelle calculette.

Et aussi mettre l'unité de S car S = 16, sans unité ne veut rien dire.

Et aussi préciser si le gaz est monoatomique ou diatomique.

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 16-04-18 à 11:25

Bonjour
Je pense que tu as compris l'essentiel...
1a) effectivement : la loi de Laplace te donne facilement V. Pour P, tu as le choix entre la relation de Laplace entre P et T et la loi des gaz parfaits : à quantité de gaz fixe, (P.V/T) a même valeur à l'état initial et à l'état final.
1b) Ici Q=0 donc U=W, U vérifiant la première loi de Joule. Attention : il est possible aussi d'utiliser W=-\intop_{V_{1}}^{V_{2}}P.dV mais attention :il faut poser :

P=\frac{P_{1}.V_{1}^{\gamma}}{V^{\gamma}}

La formule que tu ressorts n'est valide que pour une évolution réversible isotherme d'un gaz parfait, pas n'importe quand !
1c) : OK pour U ; pour la variation d'enthalpie, la seconde loi de Joule donne simplement le résultat : H=n.cpm.T
Remarque : je n'ai pas vérifié les applications numériques.

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 00:49

Bonjour,

merci grâce à vous j'ai réussi à venir à bout de la première partie de l'exercice;
Je vous soumet donc la deuxième parties avec la suite de mes calculs;

2) On remet le gaz dans les conditions de l'équilibre (1'), avec les masses précédentes M et M' en équilibre. On brûle le fil en un point B. Après quelques oscillations négligeables du piston, un nouvel état d'équilibre (3') s'établit, caractérisé par P3', V3' et T3'.

a) établir la relation donnant T3' en fonction de T1', P1' et P3'
b) Calculer P3' V3' et T3'
c) Evaluer les variations d'énergie interne et d'enthalpie pendant cette transformation.

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 00:57

a) je ne vois pas quelles hypothèse sur le système utiliser;
on peut se servir de P1V1/T1=P2V2/T2 mais je ne vois pas comment me débarrasser des volumes...

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 00:58

Merci par avance pour toute aide apportée =)

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 10:43

Bonjour
L'idée générale est d'exprimer U de deux façons différentes :
a) en fonction des températures en utilisant la première loi de Joule ;
b) en posant U=W puisque Q=0 avec :

W=-\int P_{ext}.dV\quad avec\quad P_{ext}=P_{atm}+\frac{M.g}{S}=constante
En tenant compte de l'équation d'état des gaz parfaits, tu obtiens ainsi trois équations pour trois inconnues...

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 21:48

D'accord merci je vais faire comme ça;
pour les applications numériques de la première partie je trouve :

P2'=10^5+480/0.0016 = 4.0*10^5 Pa

V2' = ((P1')^(1/y)*V1')/(P2'^(1/y)) = 5.94*10^-4 m3

et T2' = (P2'V2' )/ (P1'V1') / T1' = 455.5 K cela me paraît un peu élevé pour une simple compression ?...

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 21:55

On peut poser U=W puisque Q=0  même si on n'a pas de compression adiabatique mais une détente brutale ?

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 18-04-18 à 22:28

Je viens de jeter un coup d'œil à tes applications numériques. Arrondir g à 10m/s2 pour fournir ensuite des résultats avec trois chiffres significatifs n'est pas cohérents. Dans ce type de problèmes, arrondir à trois chiffres significatifs les résultats est correct mais il faut alors conserver g=9,81m/s2. Tu ne l'as pas précisé mais j'imagine : =1,4. Dans ces conditions, j'obtiens :
P2=3,94.105Pa ; V2=6,00.10-4m3 ; T2=444K.

Citation :
Q=0  même si on n'a pas de compression adiabatique mais une détente brutale

La pression finale est la même que dans le cas précédent : P3=P2. Le gas subit donc une compression brutale donc une compression irréversible. J'imagine que l'isolation thermique dont parle l'introduction est valide pour tout le problème donc la compression est aussi adiabatique.
Je pense que l'objectif de cet exercice est de comparer une compression adiabatique réversible et une compression adiabatique irréversible pour des pressions initiales identiques et des pressions finales identiques.

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 00:15

Merci pour ces précisions !

Voici ce que j'obtiens pour la deuxième partie :
w=-P2'(V3'-V1') or P2'=P3' donc w=-P3'(V3'-V1')

V3'=(nRT3')/P3'

et delta(U) = W = CV(T3'-T1')
donc   -P3'(V3'-V1')= CV(T3'-T1')
Je remplace V3' , j'isole T3' et j'obtiens :

T3' = \frac{T1'(\frac{P3'}{P1'}+\frac{5R}{2})}{1+5/2R}

Après j'essaie d'isoler P3' en remplaçant T3' et V3' par leur expression dans

P3' = -CV(T3'-T1') / (V3'-V1')
mais cela devient très compliqué, j'ai dû faire une erreur de calcul ?...

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 12:09

P3=P2=3,94.105Pa ; la voilà ta première équation !
Tu as établi la seconde permettant d'obtenir T3 . Il te reste à faire l'application numérique.
Une fois la température finale connue, l'équation d'état des gaz parfaits te donnera le volume final.

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 14:12

Je viens de regarder d'un peu plus près ton expression de T3 . Elle est certainement fausse car elle n'est pas homogène. R a la dimension physique d'une énergie molaire divisée par une température. Il n'est pas possible de l'ajouter à un simple rapport de pression ou à un nombre...

W=P_{3}.V_{1}-P_{3}.V_{3}=\frac{P_{3}}{P_{1}}P_{1}.V_{1}-P_{3}.V_{3}=n.R.\left(\frac{P_{3}}{P_{1}}T_{1}-T_{3}\right)

\Delta U=n.C_{vm}.\left(T_{3}-T_{1}\right)=\frac{n.R}{\gamma-1}.\left(T_{3}-T_{1}\right)

W=\Delta U\quad donc\quad\left(\gamma-1\right).\left(\frac{P_{3}}{P_{1}}T_{1}-T_{3}\right)=T_{3}-T_{1}

Je te laisse terminer...
Un conseil d'ordre général si tu le permets : prends l'habitude de contrôler au fur et à mesure l'homogénéité des formules que tu écris. Cela t'évitera bien des fautes d'étourderie... Cela suppose évidemment de raisonner littéralement et de ne pas mélanger dans une même relation valeur numérique et valeur littérale mais tu n'en es pas là heureusement !

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 19:18

2) a) Je trouve T3' = (T1'/y)((y-1)(P3'/P1')+1) Homogène à une température =)

b) T3' = 557 K
P3' = P2' = 4.10^5Pa
V3'=7.4*10^-4    m^3

c) delta(U) = -P3'(V3'-V1') = P3' (V1'-V3') = 344 J

delta(H) = ncpm(T3'-T1') = 479 J

Merci Vanoise pour ton aide et tes conseils avisés ^^

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 19:44

Pas trop d'accord comme déjà dit avec ta façon d'arrondir à 3 chiffres significatifs tout en posant g=10m/s2.
Sinon : je pense que tu as bien compris l'essentiel. Pour la raison évoquée, mes valeurs numériques diffèrent des tiennes de quelques "pour cents"...

Posté par
Froware
re : Thermodynamique - Gaz parfait 19-04-18 à 19:59

D'accord je vais les refaire alors; bonne soirée

Posté par
J-P Correcteur
re : Thermodynamique - Gaz parfait 20-04-18 à 07:46

L'énoncé n'est pas un exemple au point de vue nombre de chiffres significatifs.

Certaines données ont 1 chiffre significatif, d'autres en ont 2 et d'autres encore en ont 3.

Ca savoir, avec ca ce qui est attendu pour les réponses...
Pas ce qu'on devrait faire en travaillant bien, mais bien ce qui est attendu par le prof.

Posté par
vanoise
re : Thermodynamique - Gaz parfait 20-04-18 à 10:39

Bonjour Froware

Citation :
Ca savoir, avec ca ce qui est attendu pour les réponses...

Les concours nationaux et le bac , en France sont très exigeants sur le nombre de chiffres significatifs. La règle officielle consiste à fournir autant de chiffres significatifs qu'il y en a dans la moins précise des données. Attention, il faut arrondir comme je viens de le dire les résultats mais il faut garder en mémoire de la calculatrice, tous les chiffres significatifs, sinon trop d'arrondis successifs peuvent conduire à des résultats aberrants.
Malheureusement, en pratique , tous les concepteurs d'énoncé ne prête pas attention à cela. J'ai vu des problèmes d'optique où la longueur d'onde était fournie avec 6 chiffres et la distance objet miroir avec seulement 1 chiffre. Dans ces conditions, je recommande de fournir trois chiffres ; l'expérience montre que cela est accepté par tous les correcteurs .
Evidemment : il y a deux erreurs à ne pas commettre sous peine d'être lourdement sanctionné à un concours ou examen :
1° : fournir tous les chiffres de la calculatrices
2° : fournir un résultat sous forme non décimale : I=\frac{10}{3}A ; S=m2...

Posté par
J-P Correcteur
re : Thermodynamique - Gaz parfait 20-04-18 à 11:00

Le C étant près du V sur le clavier, "Ca savoir" était pour "Va savoir".

Citation :
"Malheureusement, en pratique , tous les concepteurs d'énoncé ne prête pas attention à cela"


C'est bien là le soucis, avec de mauvais maîtres, il y a de plus en plus de mauvais apprentis.

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