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Thermodynamique
Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice de thermodynamique. Voici l'énoncé:
L'air sera considéré comme un gaz parfait qui obéit à l'équation d'état P = ρrT où r=R/M est la constante massique du gaz de masse molaire M. on admettra que l'accélération de la pesanteur g=10m/s² demeure constante aux altitudes considérées.
1) Établir une relation entre la pression P et la densité moléculaire δ ( nombre de molécules par unité de volume du gaz ).
2) On suppose que la température T de l'atmosphère est uniforme dans la stratosphère (haute atmosphère d'altitude supérieure à zo = 11km). On désigne par δ et δ0 les densités moléculaires aux altitudes respectives z et zo .
a) Établir les lois de variation de δ et P en fonction de l'altitude z .
b) A quelle altitude z1 la pression est - elle moitié de celle Po à l' altitude zο ?
1) J'ai répondu à la première question et je trouve comme relation : P=δRT/N , avec N le nombre d'Avogadro.
2.a) C'est trouver les lois de variation qui me paraît un peu étrange, je n'arrive pas à faire intervenir les altitudes.
Bonjour
Il s'agit, semble-t-il, d'établir la formule du nivellement barométrique pour une atmosphère isotherme mais les notations sont un peu compliquées...
Une méthode possible consiste à étudier l'équilibre d'une couche élémentaire d'air comprise entre les plan horizontaux d'altitude z et d'altitude (z+dz). Je te laisse démontrer, avec dP=P(z+dz)-P(z) :
dP=-
(z).g.dz
Il te restera alors à intégrer en tenant compte de l'équation d'état des gaz parfaits.
Pour l'étude de l'équilibre de la couche d'air, j'ai considéré son poids et la poussée d'Archimède. En égalisant les deux forces, j'obtiens une relation ne contenant pas g... J'ai essayé d'utiliser la relation qui traduit la variation de la pression entre les altitudes z et z+dz, certes la pression étant égale à la force subite par la couche d'air sur la surface, je ne vois pas vraiment comment obtenir dP=-ρgdz...
Je choisis comme système l'air contenu dans un parallélépipède rectangle d'épaisseur infinitésimale dz, les faces horizontales ayant des surfaces d'aire S, leurs altitudes étant z et (z+dz). Ce système est soumis à trois forces :
* son poids :
* la force de pression exercée par l'air situé en dessous du parallélépipède :
* la force de pression exercée par l'air situé au-dessus du parallélépipède :
La pression ne dépendant que de l'altitude, les forces de pression exercées sur les faces verticales du parallélépipède se compensent deux à deux. Je te laisse écrire la relation d'équilibre et conclure...
Merci bien je comprends maintenant comment on obtient cette relation :
En passant donc à l'intégration :
on a: .
Je cherche une expression de ρ(z).
On sait que ρ=m/V <=> ρ(z)=m/S.z
J'obtiens ainsi en remplaçant ρ(z) dans l'intégrale : .
Il faut utiliser l'équation d'état rappelée par l'énoncé :
avec T=constante.
On sépare les variables :
On intègre entre l'état « 0 » et l'état « 1 » :
Je te laisse terminer...
D'accord, Je trouve donc après intégration des deux membres que la pression à un état (1) de l'atmosphère vaut :
.
Puisque La relation liant P et δ est P=δRT/N, alors à l'état (1),
.
Soit .
b) Détermination de l'altitude z1 pour laquelle P1=Po/2:
En posant l'égalité, je tire l'expression de z1 et je trouve
.
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