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thermo exo très intéressant

Posté par
brocoli 11-05-08 à 16:37

Bonjour,

Je m'entraine sur un exercice de thermo que j'ai trouvé sur internet. Mais je bloque a quelques questions. Si vous pouviez m"aider ca m'arrangerai bcp! En plus cet exo est "joli" je trouve, donc je pense qu'il ne peut être que bénéfique!

Je met un screen du début de l'énoncé car il y a une figure et les données numériques:

Q1) Rappeler les expression différentielles dU et dH de lénergie interne et de l'enthalpie du gaz parfait contenu dans le cylindre en fonction de n,R,gamma, et T

{\it dU}={\frac {nR{\it dT}}{\gamma-1}} \\ {\it dH}={\frac {nR{\it dT}}{\gamma-1}}

Q2) Etablir les expressions diff dS de l'entropie du gaz parfait contenu dans le cylindre en fonction de n,R,gamma, T, V pui en fonction de n,R,gamma, T et P

Je pars de :
{\it dU}=T{\it dS}-{\it pdV} \\ dS(T,V)={\frac {{\it dU}}{T}}+{\frac {p{\it dV}}{T}}={\frac {nR{\it dT}}{ \left( \gamma-1 \right) T}}+{\frac {nR{\it dV}}{V}}={\frac {{\it nR}\,d \left( {\it lnT} \right) }{\gamma-1}}+{\it nR}\,d \left( {\it lnV} \right)

{\it dS} \left( T,P \right) ={\it nR}\, \left( {\frac {\gamma\,d\left( {\it lnT} \right) }{\gamma-1}}-d \left( {\it lnP} \right)\right)

Q3) Exprimer puis calculer le volume initial V1 de l'air et la hauteur initiale du piston.

P_{{1}}V_{{1}}={\it nRT}_{{1}} \\ V_{{1}}={\frac {{\it nRT}_{{0}}}{P_{{0}}}}=5L
Pour Po je pense qu'il y avait une erreur dans l'énoncé, car la pression atmosphérique c'est 1bar=10^5 Pa (j'ai utilisé ca pour l'AN)

h={\frac {V_{{1}}}{s}}= 0.5\,m

Q4) l'opérateur appuie très lentement sur le piston de manière a ce que la pression du gaz devienne égale à P2=1.5*P1
Q4.1)Préciser le type de transfo subie par le gaz

C'est une transfo quasi-stat, réversible

Q4.2) A quelle loi obéit le gaz au cours de cette transfo?Démontrer cette loi et l'écrire sous les 3formes possibles

La transfo suit la loi de Laplace, (mais dans ce cas a la question précédent je dois aussi ajouter que la transfo est adiabatique non?)
Pour les écriture c'est dans mon cours donc c'est ok.

Q4.3) Exprimer puis calculer le volume V2 et la température T2 du gaz a la fin

p_{{1}}V_{{1}}={\it nRT}_{{1}} et 1.5\,P_{{1}}V_{{2}}={\it nRT}_{{2}} \\ donne 2/3\,{\frac {V_{{1}}}{V_{{2}}}}={\frac {T_{{1}}}{T_{{2}}}} \\ \\ {\it DeltaU}=C_{{v}} \left( T_{{2}}-T_{{1}}=W \right)

Pour calculer
W je ne sais pas vraiment comment faire, car Pext se n'est pas que la pression atmosphérique Po, c'est aussi la pression de l'opérateur. Et la je ne vois pas comment l'exprimer. J'aurai pensé modéliser l'opérateur comme une simple force extérieure, mais je suis denouveau bloqué parce que je ne sais pas comment l'exprimer :s

Merci beaucoup de votre aide!!

** image supprimée **

thermo exo très intéressant

édit Océane : merci de recopier ton éoncé sur le forum

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 16:57

Voici l'énoncé:

On considère un cylindre vertical de section s fermé par un piston horizontal de masse négligeable, se déplacant sans frottement. Le cylindre est muni d'un robinet R (le robinet est considéré fermé sauf indication contraire).

Le cylindre contient n mol d'air a la température T1=T0 (t0 est la température atmosphérique supposée constante) et à la pression P1=P0 (Po est la pression atmosphérique supposée constante.)

Le piston, les paroies du cylindre et le robinet sont calorifugés. L'air est considéré comme un gaz parfait et on note gamma le rapport des capacité thermique massique isobare et isochore gamma=cp/cv

On note R la cnste des gaz parfaits;
données : s=1.0E-2 m² ; n=0.20 mol ; R=8.31J/K/mol ; T0=300K ; P0=1.0E5 bar ; gamma=1.40

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 17:18

pour Q4.3)

j'applique simplement Laplace:
V_{{2}}=V_{{1}} \left({\frac{P_{{1}}}{P_{{2}}}}\right)^{{\gamma}^{-1}}=3.7L \\ \\ T_{{2}}= \left( T_{{1}} \left( {\frac {P_{{1}}}{P_{{2}}}} \right) \right)^{{\frac {1-\gamma}{\gamma}}}=337K

Q4.4) Exprimer le travail recu Wr par le gaz au cours de la trasnfo en fonction de n, R, gamma, T1 et T2

\Delta\,U={\frac {{\it nR}\, \left( T_{{2}}-T_{{1}} \right) }{\gamma-1 \\ }}= W = 154J

Q4.5) Calculer la variation d'entropie du gaz au cours de cette transfo. Calculer l'entropie créée au cours de la transfo et conclure.

la je trouve pas, mais je vais encore essayer. Bon ce qui est sur c'est que l'entropie créée est nulle car la transfo est réversible

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 17:32

Salut

Je pourrais avoir le lien ?

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:02

voici où j'ai trouvé ca.

Pour la question Q4.5) je dirai que S=0
Mais ca me parait con...

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:02

http://www.matthieurigaut.net/eval/index.html

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:03

Merci

Une transfo adiabatique réversible est isentropique

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:07

finalement j'ai bien delta S =0 vu que Q=0
oui?!

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:09

Q1) Coquille pour le dH
Q2) d(ln(P)) se note plutôt dp/p, ca fait moins lourd
Q3) Juste
Q4) La démo, tu la connais ?

Pour le reste, la flemme de vérifier les calculs mais la méthode est bonne

Skops

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:10

Transfo réversible (Si=0) adiabatique (Se=0) est isentropique (Delta S=0)

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 18:40

{\it dH}={\frac {{\it nR}\,\gamma\,{\it dT}}{\gamma-1}}

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 21:28

Q5) Le gaz est revenu dans son état initial (P1,T1,V1), l'opérateur applique brutalement une force de norme F constante sur le piston jusqu'a atteindre un état d'équilibre pour lequel la pression du gaz est égale à P3=1,5 P1
Q5.1)En écrivant l'équilibre mécanique du piston, exprimer puis calculer F.


A l'équilibre mécanique on a
F=P_3*s=1,5 P_1*s=1,5*10^5*10^{-2}=1,5*10^3 N

Q5.2) Exprimer le travail Wi recu par le gaz au cours de la transformation en fonction de P3,V1 et V3

La j'ai quelque doute, mais je ferai :
\delta\,W_{{i}}=-P_{{{\it ext}}}{\it dV}=- \left( P_{{0}}+{\frac {F}{s}} \right) {\it dV} =- \left( P_{{0}}+P_{{3}} \right) {\it dV} \\ or P_{{0}}=2/3\,P_{{3}} \\ W_{{i}}= \left( P_{{0}}+P_{{3}} \right)\left( V_{{1}}-V_{{3}}\right) \\

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 21:37

Wi=[tex]\frac{5}{3}*P_3*(V_1-V_3)[/tex]

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:07

Q5) Et la pression atmosphérique ? On a pas fait le vide au dessus du cylindre

Q5.2) Je trouve -P3(V3-V1)

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:35

Q5.3) En utilisant le premier principe de la thermo, exprimer le volume V3 du gaz en fonction de V1, gamma, et du rapport P1/P3
Calculer V3
En déduire la température T3 dans le cylindre

\Delta U= c_{{v}} \left( T_{{3}}-T_{{1}} \right) =5/3\,V_{{1}}-5/3\,V_{{3}} \\ {\frac {{\it nR}\,T_{{3}}}{\gamma-1}}-{\frac {{\it nR}\,T_{{1}}}{ \\ \gamma-1}}={\frac {P_{{3}}V_{{3}}}{\gamma-1}}-{\frac {P_{{1}}V_{{1}}}{ \\ \gamma-1}} \\ V_{{3}} \left( {\frac {P_{{3}}}{\gamma-1}}+5/3\,P_{{3}} \right) =V_{{1 \\ }} \left( {\frac {P_{{1}}}{\gamma-1}}+5/3\,P_{{3}} \right) \\ V_{{3}} \left( {\frac {-2+5\,\gamma}{3\,\gamma-3}} \right) =V_{{1}}\left( {\frac {P_{{1}}}{P_{{3}} \left( \gamma-1 \right) }}+5/3\right) \\ \\ V_{{3}}=V_{{1}} \left( 3\,{\frac {P_{{1}}}{P_{{3}}}}+5\,\gamma-5\right)\left( -2+5\,\gamma \right) ^{-1}= 4,1L \\ \\ \\ T_{{3}}={\frac {P_{{3}}V_{{3}}}{{\it nR}}}= 370K \\

Q5.4) Calculer le travail Wi recu par le gaz au cours de la transfo. Comparer Wi et Wr et conclure.

Wi=\Delta U= {\frac {{\it nR}\, \left( T_{{3}}-T_{{1}} \right) }{\gamma-1}}= 291J
Et quand je calcule Wi=\frac{5}{3}*P_3*(V_1-V_3)= 235J


c'est donc bizarre davoir 2résultats différents. De plus j'ai Wi différent de Wr. Pourtant a chaque fois W s'identifie a l'énergie interne..qui est une fonction d'état! donc je devrait avoir Wi=Wr

où est l'erreur!?

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:39

Tes 3 résultats sont faux

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:48

bon correction!

Q51) F/s + Po=P3
F= s*P3= 1500N

boarf ca me redonne la même chose après :s

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:51

F=(P3-P0)s

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:53

j'suis trop naze j'oubliais de diviser par 3 :s!
F=500N!

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 22:56

Q52) j'ai pareil que toi mtn!
je corrige le reste

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:00



Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:12

V_{{3}}=V_{{1}} \left( {\frac {P_{{1}}}{P_{{3}}}}+\gamma-1 \right) { \\ \gamma}^{-1}=3,8L \\
T3 = P3.V3/(n.R) = 342K

Wi = \Delta\,U={\frac {nR \left( T_{{3}}-T_{{1}} \right) }{\gamma-1}}=174 J

et avec Wi= P3(V1-V3)= 180 J

Les 2résultats sont enfin cohérents!

Cependant la différence entre Wi et Wr je ne la comprend toujours pas :s

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:16

C'est fait

Le volume n'est pas la même donc le travail n'est pas le même

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:18

oui mais normalement je devrai avoir le meme resultat, vu que l'énergie interne ne dépend que des conditions initiales. non?

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:20

Ce que tu as fait est correct

Tu enfonces le piston brutalement donc le volume est plus petit et le travail est différent

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:22

plus petit? Avant qu'en c'était reversible je trouvais un volume final plus petit que mtn. Donc j'ai fait une erreur avant!?
dit non par pitié!

Posté par
Skopsre : thermo exo très intéressant 11-05-08 à 23:27

Non
Non, ca doit être à cause de la température

Skops

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 12-05-08 à 17:19

Q55) Calculer la variation d'entropie du gaz au cours de cette transformation. Calculer l'entropie créée au cours de la transformation et conclure.

{\it dU}=T{\it dS}-p\cdot {\it dV} \\ {\it dS}={\frac {{\it dU}}{T}}+{\frac {{\it pdV}}{T}}={\frac {{\it nR}\,{\it dT}}{ \left( \gamma-1 \right) T}}+{\frac {{\it \\ nRdV}}{V}} \\ \\ \Delta\,S={\it nR}\,\ln\left( {\frac{T_{{3}}}{T_{{1}}}}\right)\left( \gamma-1 \right) ^{-1}+{\it nR}\,\ln\left({\frac{V_{{3}}}{V_{{1}}}}\right)= 0.088 J.K^{-1}

Vu que pour la transfo réversible j'avais la variation d'entropie nulle, l'entropie créée mtn est donc égale a la variation d'entropie, soit 0.088J/K
ca se tient?

Q6) L'opérateur bloque le piston dans une position telle que
V=V4=2,80.E-3 m^3  ;  T=T4=T0=300 K   ; P=P4

Q61) Calculer P4

P_{{4}}={\frac {n\cdot R\cdot T_{{4}}}{V_{{4}}}}=1,8 E5 Pa

Les parois du cylindre etant tjrs imperméables a la chaleur, l'opérateur ouvre le robinet pdt un court instant, jusqu'a ce que la pression dans le cylindre soit égale a la pression atmosphérique P0, puis il referme le robinet. On note n' la qt de matiere de gaz sorti du cylindre au cours de cette transfo, et on suppose qu'il est immédiatement en équilibre thermique et mécanique avec l'atmosphere : a pression P0 et a température T0. La temperature du gaz resté dans le cylindre vaut alors T5= 276 K

Q62) Justifier rapidement et sans calcul la diminution de température dans le cylindre

L'opérateur a fait une détente a volume constant. Puisque P diminue, T doit diminuer aussi (bien que n diminue aussi, mais très faiblement par rapport a P)

Q63) Calculer la qt de gaz n' qui est sorte du cylindre

P_{{0}}V_{{4}}= \left( n-n' \right) RT_{{5}} \\ n'=n-{\frac {P_{{0}}\cdot V_{{4}}}{R\cdot T_{{5}}}}=0,078 mol

Q6.4)Exprimer le travail W recu par les n mol de gaz initialement contenues dans le cylindre en fonction de n', R et To. Calculer W

Cette question je n'arrive pas!


Q6.5) Exprimer puis calculer la variation d'entropie des n mol de gaz initialement présentes dans le cylindre, au cours de cette transfo. Calculer l'entropie crée au cours de la transfo et conclure
Rebelote, cette question me pose problème!

Q7) A partir de l'état précédent (Po,V4,T5) où le cylindre contient n''=0.122mol, le dispositif n'étant pas parfaitement calorifugé, la température dans le cylindre va au bout d'un certain temps, etre égale a la température atmospherique To.
Q7.1) Quelle sera alors la pression P6 a linterieur du cylindre?
P_{{6}}V_{{4}}=n''\cdot RT_{{0}} \\ P_{{6}}={\frac {n''.R.T_{{0}}}{V_{{4}}}}=1,086 E5 Pa

Q7.2) Exprimer puis calculer le transfert thermique Q recu par le gaz contenu dans le cylindre.

{\it dH}={\it dU}+{\it PdV}+{\it VdP} \\ C_{{p}}\cdot {\it dT}={\it dQ}+{\it VdP} \\ {\it dQ}={\frac {n''.R\gamma\,{\it dT}}{\gamma-1}}-V_{{4}}\cdot {\it dP} \\ Q={\frac {\gamma\,n''\cdot R \left( T_{{0}}-T_{{5}} \right)}{\gamma-1}}-V_{{4}} \left( P_{{6}}-P_{{0}} \right) =61 J \\

Q7.3) Exprimer puis calculer la variation d'entropie du gaz contenu dans le cylindre au cours de cette transformation. calculer l'entropie créée au cours de la transformation et conclure.
{\it dS}={\frac {{\it dU}}{T}}+{\frac {P\cdot {\it dV}}{T}}= {\frac {n''\cdot R\cdot {\it dT}}{\gamma-1}}+{\frac {n''.R{\it dV}}{V}} \\ \Delta\,S=n''\cdot R\cdot \ln\left( {\frac {T_{{0}}}{T_{{5}}}}\right)\left( \gamma-1 \right) ^{-1}= 0,211 J.K^{-1} \\ \\

je n'arrive pas a calculer l'entropie créée!
Mais...c'était la derniere question!

J'espere que quelqu'un pourra m'aider pour les question que je n'ai pas réussi a trouver.

merci d'avance

Posté par
brocolire : thermo exo très intéressant 12-05-08 à 21:56

Si quelqu'un pouvait juste regarder les 2questions que j'ai pas réussi a faire ca m'aiderait beaucoup!


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